Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Langkah 1

Biarkan $x = \sin (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = \cos (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ positif.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Terapkan identitas pythagoras.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Langkah 2.1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Langkah 2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin^{2} (t) d t$

Langkah 3

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\sin^{2} (t)$ sebagai $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} 1 - \cos (2 t) d t$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{4}} d t + \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \cos (2 t) d t)$

Langkah 6

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \cos (2 t) d t)$

Langkah 7

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 t) d t)$

Langkah 8

Biarkan $u = 2 t$ . Kemudian $d u = 2 d t$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Biarkan $u = 2 t$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Diferensialkan $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Langkah 8.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 8.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 8.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 8.2

Substitusikan batas bawah untuk $t$ di $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Langkah 8.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 8.4

Substitusikan batas atas untuk $t$ di $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Langkah 8.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Langkah 8.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Langkah 8.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Langkah 8.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Langkah 8.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Langkah 9

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Langkah 10

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u))$

Langkah 11

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Langkah 12

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Evaluasi $t$ pada $\frac{π}{4}$ dan pada $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{4}) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Langkah 12.2

Evaluasi $\sin (u)$ pada $\frac{π}{2}$ dan pada $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{4}) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)))$

Langkah 12.3

Tambahkan $\frac{π}{4}$ dan $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)))$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} (1 - \sin (0)))$

Langkah 13.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} (1 - 0))$

Langkah 13.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} (1 + 0))$

Langkah 13.4

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} \cdot 1)$

Langkah 13.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2})$

Langkah 14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Langkah 14.2

Kalikan $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Langkah 14.2.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$\frac{π}{8} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Langkah 14.3

Kalikan $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{8} - \frac{1}{2 \cdot 2}$

Langkah 14.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{π}{8} - \frac{1}{4}$

Langkah 15

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{π}{8} - \frac{1}{4}$

Bentuk Desimal:

$0.14269908 \dots$

Langkah 16