Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{3 \sqrt{3}}{2}} \frac{x^{3}}{\sqrt{4 x^{2} + 9}} d x$

Langkah 1

Biarkan $x = \frac{3}{2} \tan (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{3 \sec^{2} (t)}{2}$ positif.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 {(\frac{3}{2} \tan (t))}^{2} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan $\sqrt{4 {(\frac{3}{2} \tan (t))}^{2} + 9}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $\tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 {(\frac{3 \tan (t)}{2})}^{2} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 2.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3 \tan (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{{(3 \tan (t))}^{2}}{2^{2}} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 2.1.1.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{3^{2} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 2.1.1.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{2^{2}} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 2.1.1.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{4} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 2.1.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{4} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 2.1.1.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 \tan^{2} (t) + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 2.1.2

Faktorkan $9$ dari $9 \tan^{2} (t) + 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Faktorkan $9$ dari $9 \tan^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 (\tan^{2} (t)) + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 2.1.2.2

Faktorkan $9$ dari $9$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 (\tan^{2} (t)) + 9 (1)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 2.1.2.3

Faktorkan $9$ dari $9 (\tan^{2} (t)) + 9 (1)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 (\tan^{2} (t) + 1)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 2.1.3

Terapkan identitas pythagoras.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 \sec^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 2.1.4

Tulis kembali $9 \sec^{2} (t)$ sebagai ${(3 \sec (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 2.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 2.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $\tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3 \tan (t)}{2})}^{3}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3 \tan (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{{(3 \tan (t))}^{3}}{2^{3}}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 2.2.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{3^{3} \tan^{3} (t)}{2^{3}}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 2.2.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.3.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{27 \tan^{3} (t)}{2^{3}}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 2.2.2.3.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{27 \tan^{3} (t)}{8}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 2.2.2.3.3

Tulis kembali $\frac{\frac{27 \tan^{3} (t)}{8}}{3 \sec (t)}$ sebagai hasil kali.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t)}{8} \cdot \frac{1}{3 \sec (t)} \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 2.2.2.3.4

Kalikan $\frac{27 \tan^{3} (t)}{8}$ dengan $\frac{1}{3 \sec (t)}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t)}{8 (3 \sec (t))} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 2.2.2.3.5

Kalikan $3$ dengan $8$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t)}{24 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 2.2.2.3.6

Hapus faktor persekutuan dari $27$ dan $24$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.3.6.1

Faktorkan $3$ dari $27 \tan^{3} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (9 \tan^{3} (t))}{24 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 2.2.2.3.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.3.6.2.1

Faktorkan $3$ dari $24 \sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (9 \tan^{3} (t))}{3 (8 \sec (t))} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 2.2.2.3.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (9 \tan^{3} (t))}{3 (8 \sec (t))} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 2.2.2.3.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{9 \tan^{3} (t)}{8 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 2.2.2.3.7

Kalikan $\frac{9 \tan^{3} (t)}{8 \sec (t)}$ dengan $\frac{3 \sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{9 \tan^{3} (t) (3 \sec^{2} (t))}{8 \sec (t) \cdot 2} d t$

Langkah 2.2.2.3.8

Kalikan $3$ dengan $9$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t) \sec^{2} (t)}{8 \sec (t) \cdot 2} d t$

Langkah 2.2.2.3.9

Kalikan $2$ dengan $8$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t) \sec^{2} (t)}{16 \sec (t)} d t$

Langkah 2.2.2.3.10

Hapus faktor persekutuan dari $\sec^{2} (t)$ dan $\sec (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.3.10.1

Faktorkan $\sec (t)$ dari $27 \tan^{3} (t) \sec^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (27 \tan^{3} (t) \sec (t))}{16 \sec (t)} d t$

Langkah 2.2.2.3.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.3.10.2.1

Faktorkan $\sec (t)$ dari $16 \sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (27 \tan^{3} (t) \sec (t))}{\sec (t) \cdot 16} d t$

Langkah 2.2.2.3.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (27 \tan^{3} (t) \sec (t))}{\sec (t) \cdot 16} d t$

Langkah 2.2.2.3.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t) \sec (t)}{16} d t$

Langkah 3

Karena $\frac{27}{16}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{27}{16}$ keluar dari integral.

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Langkah 4

Naikkan $\sec (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

Langkah 5

Faktorkan $\tan^{2} (t)$ .

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Langkah 6

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\tan^{2} (t)$ sebagai $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Langkah 7

Sederhanakan.

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

Langkah 8

Biarkan $u = \sec (t)$ . Kemudian $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ sehingga $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Biarkan $u = \sec (t)$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Diferensialkan $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Langkah 8.1.2

Turunan dari $\sec (t)$ terhadap $t$ adalah $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Langkah 8.2

Substitusikan batas bawah untuk $t$ di $u = \sec (t)$ .

$u_{lower} = \sec (0)$

Langkah 8.3

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 8.4

Substitusikan batas atas untuk $t$ di $u = \sec (t)$ .

$u_{upper} = \sec (\frac{π}{3})$

Langkah 8.5

Nilai eksak dari $\sec (\frac{π}{3})$ adalah $2$ .

$u_{upper} = 2$

Langkah 8.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Langkah 8.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{27}{16} \int_{1}^{2} - 1 + u^{2} d u$

Langkah 9

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{27}{16} (\int_{1}^{2} - 1 d u + \int_{1}^{2} u^{2} d u)$

Langkah 10

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{27}{16} (- u]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} u^{2} d u)$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{2}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{27}{16} (- u]_{1}^{2} + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2})$

Langkah 12

Gabungkan $- u]_{1}^{2}$ dan $\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2}$ .

$\frac{27}{16} - u + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2}$

Langkah 13

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Evaluasi $- u + \frac{1}{3} u^{3}$ pada $2$ dan pada $1$ .

$\frac{27}{16} ((- 1 \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Langkah 13.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{27}{16} (- 2 + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Langkah 13.2.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{27}{16} (- 2 + \frac{1}{3} \cdot 8 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Langkah 13.2.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $8$ .

$\frac{27}{16} (- 2 + \frac{8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Langkah 13.2.4

Untuk menuliskan $- 2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{16} (- 2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Langkah 13.2.5

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{16} (\frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Langkah 13.2.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{27}{16} (\frac{- 2 \cdot 3 + 8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Langkah 13.2.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.7.1

Kalikan $- 2$ dengan $3$ .

$\frac{27}{16} (\frac{- 6 + 8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Langkah 13.2.7.2

Tambahkan $- 6$ dan $8$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Langkah 13.2.8

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Langkah 13.2.9

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1))$

Langkah 13.2.10

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 + \frac{1}{3}))$

Langkah 13.2.11

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}))$

Langkah 13.2.12

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}))$

Langkah 13.2.13

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3})$

Langkah 13.2.14

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.14.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - \frac{- 3 + 1}{3})$

Langkah 13.2.14.2

Tambahkan $- 3$ dan $1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - \frac{- 2}{3})$

Langkah 13.2.15

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - - \frac{2}{3})$

Langkah 13.2.16

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} + 1 (\frac{2}{3}))$

Langkah 13.2.17

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} + \frac{2}{3})$

Langkah 13.2.18

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{27}{16} \cdot \frac{2 + 2}{3}$

Langkah 13.2.19

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$\frac{27}{16} \cdot \frac{4}{3}$

Langkah 13.2.20

Kalikan $\frac{27}{16}$ dengan $\frac{4}{3}$ .

$\frac{27 \cdot 4}{16 \cdot 3}$

Langkah 13.2.21

Kalikan $27$ dengan $4$ .

$\frac{108}{16 \cdot 3}$

Langkah 13.2.22

Kalikan $16$ dengan $3$ .

$\frac{108}{48}$

Langkah 13.2.23

Hapus faktor persekutuan dari $108$ dan $48$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.23.1

Faktorkan $12$ dari $108$ .

$\frac{12 (9)}{48}$

Langkah 13.2.23.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.23.2.1

Faktorkan $12$ dari $48$ .

$\frac{12 \cdot 9}{12 \cdot 4}$

Langkah 13.2.23.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{12 \cdot 9}{12 \cdot 4}$

Langkah 13.2.23.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{9}{4}$

Langkah 14

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{9}{4}$

Bentuk Desimal:

$2.25$

Bentuk Bilangan Campuran:

$2 \frac{1}{4}$

Langkah 15