Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{0.786} x \sin^{2} (x) d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \sin^{2} (x)$ .

$x (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x))]_{0}^{0.786} - \int_{0}^{0.786} \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \sin (2 x))]_{0}^{0.786} - \int_{0}^{0.786} \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $\sin (2 x)$ dan $\frac{1}{4}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - \int_{0}^{0.786} \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\int_{0}^{0.786} \frac{1}{2} x d x + \int_{0}^{0.786} - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x)$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\int_{0}^{0.786} \frac{x}{2} d x + \int_{0}^{0.786} - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x)$

Langkah 4.2

Gabungkan $\sin (2 x)$ dan $\frac{1}{4}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\int_{0}^{0.786} \frac{x}{2} d x + \int_{0}^{0.786} - \frac{\sin (2 x)}{4} d x)$

Langkah 5

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{0.786} x d x + \int_{0}^{0.786} - \frac{\sin (2 x)}{4} d x)$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{0.786} + \int_{0}^{0.786} - \frac{\sin (2 x)}{4} d x)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{1}{2} \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786} + \int_{0}^{0.786} - \frac{\sin (2 x)}{4} d x)$

Langkah 7.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} + \int_{0}^{0.786} - \frac{\sin (2 x)}{4} d x)$

Langkah 8

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \int_{0}^{0.786} \frac{\sin (2 x)}{4} d x)$

Langkah 9

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - (\frac{1}{4} \int_{0}^{0.786} \sin (2 x) d x))$

Langkah 10

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 10.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 10.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 10.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 10.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Langkah 10.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 10.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0.786$

Langkah 10.5

Kalikan $2$ dengan $0.786$ .

$u_{upper} = 1.572$

Langkah 10.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1.572$

Langkah 10.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \frac{1}{4} \int_{0}^{1.572} \sin (u) \frac{1}{2} d u)$

Langkah 11

Gabungkan $\sin (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \frac{1}{4} \int_{0}^{1.572} \frac{\sin (u)}{2} d u)$

Langkah 12

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int_{0}^{1.572} \sin (u) d u))$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 4} \int_{0}^{1.572} \sin (u) d u)$

Langkah 13.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \frac{1}{8} \int_{0}^{1.572} \sin (u) d u)$

Langkah 14

Integral dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $- \cos (u)$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \frac{1}{8} - \cos (u)]_{0}^{1.572})$

Langkah 15

Gabungkan $- \cos (u)]_{0}^{1.572}$ dan $\frac{1}{8}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \frac{- \cos (u)]_{0}^{1.572}}{8})$

Langkah 16

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Evaluasi $x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})$ pada $0.786$ dan pada $0$ .

$(0.786 (\frac{0.786}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0.786)}{4})) + 0 (\frac{0}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \frac{- \cos (u)]_{0}^{1.572}}{8})$

Langkah 16.2

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $0.786$ dan pada $0$ .

$(0.786 (\frac{0.786}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0.786)}{4})) + 0 (\frac{0}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{- \cos (u)]_{0}^{1.572}}{8})$

Langkah 16.3

Evaluasi $- \cos (u)$ pada $1.572$ dan pada $0$ .

$(0.786 (\frac{0.786}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0.786)}{4})) + 0 (\frac{0}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Langkah 16.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.4.1

Kalikan $2$ dengan $0.786$ .

$0.786 (\frac{0.786}{2} - \frac{\sin (1.572)}{4}) + 0 (\frac{0}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Langkah 16.4.2

Kalikan $0.786$ dengan $\frac{0.786}{2} - \frac{\sin (1.572)}{4}$ .

$0.11239814 + 0 (\frac{0}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Langkah 16.4.3

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.4.3.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$0.11239814 + 0 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Langkah 16.4.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.4.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$0.11239814 + 0 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Langkah 16.4.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$0.11239814 + 0 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Langkah 16.4.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$0.11239814 + 0 (\frac{0}{1} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Langkah 16.4.3.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$0.11239814 + 0 (0 - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Langkah 16.4.4

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$0.11239814 + 0 (0 - \frac{\sin (0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Langkah 16.4.5

Kurangi $\frac{\sin (0)}{4}$ dengan $0$ .

$0.11239814 + 0 (- \frac{\sin (0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Langkah 16.4.6

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$0.11239814 + 0 \frac{\sin (0)}{4} - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Langkah 16.4.7

Kalikan $0$ dengan $\frac{\sin (0)}{4}$ .

$0.11239814 + 0 - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Langkah 16.4.8

Tambahkan $0.11239814$ dan $0$ .

$0.11239814 - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Langkah 16.4.9

Naikkan $0.786$ menjadi pangkat $2$ .

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2} - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Langkah 16.4.10

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2} - \frac{0}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Langkah 16.4.11

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.4.11.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2} - \frac{2 (0)}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Langkah 16.4.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.4.11.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Langkah 16.4.11.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Langkah 16.4.11.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2} - \frac{0}{1}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Langkah 16.4.11.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2} - 0}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Langkah 16.4.12

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2} + 0}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Langkah 16.4.13

Tambahkan $\frac{0.617796}{2}$ dan $0$ .

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Langkah 16.4.14

Tulis kembali $\frac{\frac{0.617796}{2}}{2}$ sebagai hasil kali.

$0.11239814 - (\frac{0.617796}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Langkah 16.4.15

Kalikan $\frac{0.617796}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$0.11239814 - (\frac{0.617796}{2 \cdot 2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Langkah 16.4.16

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$0.11239814 - (\frac{0.617796}{4} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Langkah 16.4.17

Kurangi $\frac{0.617796}{4} - \frac{- \cos (1.572) + \cos (0)}{8}$ dengan $0.11239814$ .

$0.0830996$