Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} x \cos (π x) d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \cos (π x)$ .

$x (\frac{1}{π} \sin (π x))]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{π} \sin (π x) d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{1}{π}$ dan $\sin (π x)$ .

$x \frac{\sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{π} \sin (π x) d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{\sin (π x)}{π}$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{π} \sin (π x) d x$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{π}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{π}$ keluar dari integral.

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \sin (π x) d x)$

Langkah 4

Biarkan $u = π x$ . Kemudian $d u = π d x$ sehingga $\frac{1}{π} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = π x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Langkah 4.1.2

Karena $π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $π x$ terhadap $x$ adalah $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Langkah 4.1.4

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 4.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = π x$ .

$u_{lower} = π \cdot 0$

Langkah 4.3

Kalikan $π$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 4.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = π x$ .

$u_{upper} = π \frac{1}{2}$

Langkah 4.5

Gabungkan $π$ dan $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Langkah 4.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Langkah 4.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) \frac{1}{π} d u$

Langkah 5

Gabungkan $\sin (u)$ dan $\frac{1}{π}$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (u)}{π} d u$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{π}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{π}$ keluar dari integral.

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π} (\frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $\frac{1}{π}$ dengan $\frac{1}{π}$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Langkah 7.2

Naikkan $π$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{1} π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Langkah 7.3

Naikkan $π$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{1} π^{1}} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Langkah 7.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{1 + 1}} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Langkah 7.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{2}} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Langkah 8

Integral dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{2}} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Langkah 9

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Evaluasi $\frac{x \sin (π x)}{π}$ pada $\frac{1}{2}$ dan pada $0$ .

$(\frac{\frac{1}{2} \sin (π \frac{1}{2})}{π}) - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Langkah 9.2

Evaluasi $- \cos (u)$ pada $\frac{π}{2}$ dan pada $0$ .

$(\frac{\frac{1}{2} \sin (π \frac{1}{2})}{π}) - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Langkah 9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} \sin (\frac{π}{2})}{π} - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Langkah 9.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (\frac{π}{2})$ .

$\frac{\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2}}{π} - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Langkah 9.3.3

Tulis kembali $\frac{\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2}}{π}$ sebagai hasil kali.

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2} \cdot \frac{1}{π} - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Langkah 9.3.4

Kalikan $\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2}$ dengan $\frac{1}{π}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Langkah 9.3.5

Kalikan $π$ dengan $0$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} - \frac{0 \sin (0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Langkah 9.3.6

Kalikan $0$ dengan $\sin (0)$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} - \frac{0}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Langkah 9.3.7

Untuk menuliskan $- \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2 π}{2 π}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} - \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot \frac{2 π}{2 π} - \frac{0}{π}$

Langkah 9.3.8

Gabungkan $- \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ dan $\frac{2 π}{2 π}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} + \frac{- \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) (2 π)}{2 π} - \frac{0}{π}$

Langkah 9.3.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) - \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) (2 π)}{2 π} - \frac{0}{π}$

Langkah 9.3.10

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) - 2 \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) π}{2 π} - \frac{0}{π}$

Langkah 9.3.11

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{π^{2}}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 2}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) π}{2 π} - \frac{0}{π}$

Langkah 9.3.12

Gabungkan $π$ dan $\frac{- 2}{π^{2}}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{π \cdot - 2}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Langkah 9.3.13

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $π$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 2 \cdot π}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Langkah 9.3.14

Hapus faktor persekutuan dari $π$ dan $π^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.14.1

Faktorkan $π$ dari $- 2 π$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{π \cdot - 2}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Langkah 9.3.14.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.14.2.1

Faktorkan $π$ dari $π^{2}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{π \cdot - 2}{π π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Langkah 9.3.14.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{π \cdot - 2}{π π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Langkah 9.3.14.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 2}{π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Langkah 9.3.15

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) - \frac{2}{π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Langkah 10.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} (- 0 + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Langkah 10.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} (- 0 + 1)}{2 π} - \frac{0}{π}$

Langkah 10.4

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} (0 + 1)}{2 π} - \frac{0}{π}$

Langkah 10.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} \cdot 1}{2 π} - \frac{0}{π}$

Langkah 10.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π} - \frac{0}{π}$

Langkah 10.7

Untuk menuliskan $- \frac{0}{π}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π} - \frac{0}{π} \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 10.8

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $2 π$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.8.1

Kalikan $\frac{0}{π}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π} - \frac{0 \cdot 2}{π \cdot 2}$

Langkah 10.8.2

Susun kembali faktor-faktor dari $π \cdot 2$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π} - \frac{0 \cdot 2}{2 π}$

Langkah 10.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1 - \frac{2}{π} + 0 \cdot 2}{2 π}$

Langkah 10.10

Kalikan $0$ dengan $2$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} + 0}{2 π}$

Langkah 10.11

Tambahkan $1 - \frac{2}{π}$ dan $0$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π}$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{π}{π} - \frac{2}{π}}{2 π}$

Langkah 11.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{π - 2}{π}}{2 π}$

Langkah 11.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{π - 2}{π} \cdot \frac{1}{2 π}$

Langkah 11.3

Kalikan $\frac{π - 2}{π} \cdot \frac{1}{2 π}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Kalikan $\frac{π - 2}{π}$ dengan $\frac{1}{2 π}$ .

$\frac{π - 2}{π (2 π)}$

Langkah 11.3.2

Naikkan $π$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{π - 2}{2 (π^{1} π)}$

Langkah 11.3.3

Naikkan $π$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{π - 2}{2 (π^{1} π^{1})}$

Langkah 11.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{π - 2}{2 π^{1 + 1}}$

Langkah 11.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{π - 2}{2 π^{2}}$

Langkah 12

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{π - 2}{2 π^{2}}$

Bentuk Desimal:

$0.05783375 \dots$