Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\cos (4 x)}{4} + \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Langkah 1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\cos (4 x)}{4} d x + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Langkah 2

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \cos (4 x) d x + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Langkah 3

Biarkan $u_{1} = 4 x$ . Kemudian $d u_{1} = 4 d x$ sehingga $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Biarkan $u_{1} = 4 x$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Langkah 3.1.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Langkah 3.1.4

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4$

Langkah 3.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{1} = 4 x$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0$

Langkah 3.3

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 3.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{1} = 4 x$ .

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{16}$

Langkah 3.5

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Faktorkan $4$ dari $16$ .

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{4 (4)}$

Langkah 3.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{4 \cdot 4}$

Langkah 3.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

Langkah 3.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

Langkah 3.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ , $d u_{1}$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \cos (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Langkah 4

Gabungkan $\cos (u_{1})$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \frac{\cos (u_{1})}{4} d u_{1} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Langkah 5

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Langkah 6.2

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$\frac{1}{16} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Langkah 7

Integral dari $\cos (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Langkah 8

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \sin (4 x) d x$

Langkah 9

Biarkan $u_{2} = 4 x$ . Kemudian $d u_{2} = 4 d x$ sehingga $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Biarkan $u_{2} = 4 x$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Diferensialkan $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Langkah 9.1.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 9.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Langkah 9.1.4

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4$

Langkah 9.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{2} = 4 x$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0$

Langkah 9.3

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 9.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{2} = 4 x$ .

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{16}$

Langkah 9.5

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.1

Faktorkan $4$ dari $16$ .

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{4 (4)}$

Langkah 9.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{4 \cdot 4}$

Langkah 9.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

Langkah 9.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

Langkah 9.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u_{2}) \frac{1}{4} d u_{2}$

Langkah 10

Gabungkan $\sin (u_{2})$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \frac{\sin (u_{2})}{4} d u_{2}$

Langkah 11

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u_{2}) d u_{2})$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4 \cdot 4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u_{2}) d u_{2}$

Langkah 12.2

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{16} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u_{2}) d u_{2}$

Langkah 13

Integral dari $\sin (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{16} - \cos (u_{2})]_{0}^{\frac{3 π}{4}}$

Langkah 14

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Evaluasi $\sin (u_{1})$ pada $\frac{3 π}{4}$ dan pada $0$ .

$\frac{1}{16} ((\sin (\frac{3 π}{4})) - \sin (0)) + \frac{1}{16} - \cos (u_{2})]_{0}^{\frac{3 π}{4}}$

Langkah 14.2

Evaluasi $- \cos (u_{2})$ pada $\frac{3 π}{4}$ dan pada $0$ .

$\frac{1}{16} ((\sin (\frac{3 π}{4})) - \sin (0)) + \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{3 π}{4})) + \cos (0))$

Langkah 14.3

Hilangkan tanda kurung.

$\frac{1}{16} (\sin (\frac{3 π}{4}) - \sin (0)) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + \cos (0))$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{1}{16} (\sin (\frac{3 π}{4}) - 0) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + \cos (0))$

Langkah 15.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{1}{16} (\sin (\frac{3 π}{4}) - 0) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$

Langkah 15.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{1}{16} (\sin (\frac{3 π}{4}) + 0) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$

Langkah 15.4

Tambahkan $\sin (\frac{3 π}{4})$ dan $0$ .

$\frac{1}{16} \sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$

Langkah 15.5

Gabungkan $\frac{1}{16}$ dan $\sin (\frac{3 π}{4})$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4})}{16} + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$

Langkah 15.6

Untuk menuliskan $\frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{16}{16}$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4})}{16} + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1) \cdot \frac{16}{16}$

Langkah 15.7

Gabungkan $\frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$ dan $\frac{16}{16}$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4})}{16} + \frac{\frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1) \cdot 16}{16}$

Langkah 15.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1) \cdot 16}{16}$

Langkah 15.9

Gabungkan $16$ dan $\frac{1}{16}$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{16}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)}{16}$

Langkah 15.10

Batalkan faktor persekutuan dari $16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.10.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{16}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)}{16}$

Langkah 15.10.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + 1 (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)}{16}$

Langkah 15.11

Kalikan $- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1$ dengan $1$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4}) + 1}{16}$

Langkah 16

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) - - \cos (\frac{π}{4}) + 1}{16}$

Langkah 16.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) - - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Langkah 16.3

Kalikan $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + 1 \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Langkah 16.3.2

Kalikan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Langkah 16.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.4.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Langkah 16.4.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Langkah 16.4.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Langkah 16.4.4

Tambahkan $\sqrt{2}$ dan $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Langkah 16.4.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.4.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Langkah 16.4.5.2

Bagilah $\sqrt{2}$ dengan $1$ .

$\frac{\sqrt{2} + 1}{16}$

Langkah 17

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{\sqrt{2} + 1}{16}$

Bentuk Desimal:

$0.15088834 \dots$