Kalkulus Contoh

$\int 3 x e^{- 9 x} d x$

Langkah 1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$3 \int x e^{- 9 x} d x$

Langkah 2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{- 9 x}$ .

$3 (x (- \frac{1}{9} e^{- 9 x}) - \int - \frac{1}{9} e^{- 9 x} d x)$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $e^{- 9 x}$ dan $\frac{1}{9}$ .

$3 (x (- \frac{e^{- 9 x}}{9}) - \int - \frac{1}{9} e^{- 9 x} d x)$

Langkah 3.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{e^{- 9 x}}{9}$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} - \int - \frac{1}{9} e^{- 9 x} d x)$

Langkah 3.3

Gabungkan $e^{- 9 x}$ dan $\frac{1}{9}$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} - \int - \frac{e^{- 9 x}}{9} d x)$

Langkah 4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} - - \int \frac{e^{- 9 x}}{9} d x)$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} + 1 \int \frac{e^{- 9 x}}{9} d x)$

Langkah 5.2

Kalikan $\int \frac{e^{- 9 x}}{9} d x$ dengan $1$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} + \int \frac{e^{- 9 x}}{9} d x)$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{9}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{9}$ keluar dari integral.

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} + \frac{1}{9} \int e^{- 9 x} d x)$

Langkah 7

Biarkan $u = - 9 x$ . Kemudian $d u = - 9 d x$ sehingga $- \frac{1}{9} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Biarkan $u = - 9 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Diferensialkan $- 9 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 9 x]$

Langkah 7.1.2

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 9 x$ terhadap $x$ adalah $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 9 \cdot 1$

Langkah 7.1.4

Kalikan $- 9$ dengan $1$ .

$- 9$

Langkah 7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} + \frac{1}{9} \int e^{u} \frac{1}{- 9} d u)$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} + \frac{1}{9} \int e^{u} (- \frac{1}{9}) d u)$

Langkah 8.2

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{9}$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} + \frac{1}{9} \int - \frac{e^{u}}{9} d u)$

Langkah 9

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} + \frac{1}{9} (- \int \frac{e^{u}}{9} d u))$

Langkah 10

Karena $\frac{1}{9}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{9}$ keluar dari integral.

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} + \frac{1}{9} (- (\frac{1}{9} \int e^{u} d u)))$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Kalikan $\frac{1}{9}$ dengan $\frac{1}{9}$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} - \frac{1}{9 \cdot 9} \int e^{u} d u)$

Langkah 11.2

Kalikan $9$ dengan $9$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} - \frac{1}{81} \int e^{u} d u)$

Langkah 12

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} - \frac{1}{81} (e^{u} + C))$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Tulis kembali $3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} - \frac{1}{81} (e^{u} + C))$ sebagai $3 (- \frac{1}{9} x e^{- 9 x} - \frac{1}{81} e^{u}) + C$ .

$3 (- \frac{1}{9} x e^{- 9 x} - \frac{1}{81} e^{u}) + C$

Langkah 13.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{9}$ .

$3 (- \frac{x}{9} e^{- 9 x} - \frac{1}{81} e^{u}) + C$

Langkah 13.2.2

Gabungkan $e^{- 9 x}$ dan $\frac{x}{9}$ .

$3 (- \frac{e^{- 9 x} x}{9} - \frac{1}{81} e^{u}) + C$

Langkah 13.2.3

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{81}$ .

$3 (- \frac{e^{- 9 x} x}{9} - \frac{e^{u}}{81}) + C$

Langkah 14

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 9 x$ .

$3 (- \frac{e^{- 9 x} x}{9} - \frac{e^{- 9 x}}{81}) + C$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Terapkan sifat distributif.

$3 (- \frac{e^{- 9 x} x}{9}) + 3 (- \frac{e^{- 9 x}}{81}) + C$

Langkah 15.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{e^{- 9 x} x}{9}$ ke dalam pembilangnya.

$3 \frac{- e^{- 9 x} x}{9} + 3 (- \frac{e^{- 9 x}}{81}) + C$

Langkah 15.2.2

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$3 \frac{- e^{- 9 x} x}{3 (3)} + 3 (- \frac{e^{- 9 x}}{81}) + C$

Langkah 15.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{- e^{- 9 x} x}{3 \cdot 3} + 3 (- \frac{e^{- 9 x}}{81}) + C$

Langkah 15.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- e^{- 9 x} x}{3} + 3 (- \frac{e^{- 9 x}}{81}) + C$

Langkah 15.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{e^{- 9 x}}{81}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- e^{- 9 x} x}{3} + 3 \frac{- e^{- 9 x}}{81} + C$

Langkah 15.3.2

Faktorkan $3$ dari $81$ .

$\frac{- e^{- 9 x} x}{3} + 3 \frac{- e^{- 9 x}}{3 (27)} + C$

Langkah 15.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- e^{- 9 x} x}{3} + 3 \frac{- e^{- 9 x}}{3 \cdot 27} + C$

Langkah 15.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- e^{- 9 x} x}{3} + \frac{- e^{- 9 x}}{27} + C$

Langkah 15.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{e^{- 9 x} x}{3} + \frac{- e^{- 9 x}}{27} + C$

Langkah 15.4.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{e^{- 9 x} x}{3} - \frac{e^{- 9 x}}{27} + C$

Langkah 15.5

Susun kembali faktor-faktor dalam $- \frac{e^{- 9 x} x}{3} - \frac{e^{- 9 x}}{27}$ .

$- \frac{x e^{- 9 x}}{3} - \frac{e^{- 9 x}}{27} + C$

Langkah 16

Susun kembali suku-suku.

$- \frac{1}{3} x e^{- 9 x} - \frac{1}{27} e^{- 9 x} + C$