Kalkulus Contoh

$\int 81 x^{3} e^{3 x} d x$

Langkah 1

Karena $81$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $81$ keluar dari integral.

$81 \int x^{3} e^{3 x} d x$

Langkah 2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x^{3}$ dan $d v = e^{3 x}$ .

$81 (x^{3} (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (3 x^{2}) d x)$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $e^{3 x}$ .

$81 (x^{3} \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (3 x^{2}) d x)$

Langkah 3.2

Gabungkan $x^{3}$ dan $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (3 x^{2}) d x)$

Langkah 3.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $e^{3 x}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} (3 x^{2}) d x)$

Langkah 3.4

Gabungkan $3$ dan $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \int \frac{3 e^{3 x}}{3} x^{2} d x)$

Langkah 3.5

Gabungkan $\frac{3 e^{3 x}}{3}$ dan $x^{2}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \int \frac{3 e^{3 x} x^{2}}{3} d x)$

Langkah 3.6

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \int \frac{3 e^{3 x} x^{2}}{3} d x)$

Langkah 3.6.2

Bagilah $e^{3 x} x^{2}$ dengan $1$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \int e^{3 x} x^{2} d x)$

Langkah 4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x^{2}$ dan $d v = e^{3 x}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (x^{2} (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x))$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $e^{3 x}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (x^{2} \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x))$

Langkah 5.2

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x))$

Langkah 5.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $e^{3 x}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} (2 x) d x))$

Langkah 5.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{2 e^{3 x}}{3} x d x))$

Langkah 5.5

Gabungkan $\frac{2 e^{3 x}}{3}$ dan $x$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{2 e^{3 x} x}{3} d x))$

Langkah 6

Karena $\frac{2}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{2}{3}$ keluar dari integral.

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - (\frac{2}{3} \int e^{3 x} x d x)))$

Langkah 7

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{3 x}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)))$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $e^{3 x}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)))$

Langkah 8.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)))$

Langkah 8.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $e^{3 x}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x)))$

Langkah 9

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x))))$

Langkah 10

Biarkan $u = 3 x$ . Kemudian $d u = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Biarkan $u = 3 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Diferensialkan $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 10.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 10.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 10.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 10.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u)))$

Langkah 11

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u)))$

Langkah 12

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u))))$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u)))$

Langkah 13.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u)))$

Langkah 14

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))))$

Langkah 15

Tulis kembali $81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))))$ sebagai $81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \frac{x^{2} e^{3 x}}{3} + \frac{2 x e^{3 x}}{9} - \frac{2 e^{u}}{27}) + C$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \frac{x^{2} e^{3 x}}{3} + \frac{2 x e^{3 x}}{9} - \frac{2 e^{u}}{27}) + C$

Langkah 16

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \frac{x^{2} e^{3 x}}{3} + \frac{2 x e^{3 x}}{9} - \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Langkah 17

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Terapkan sifat distributif.

$81 \frac{x^{3} e^{3 x}}{3} + 81 (- \frac{x^{2} e^{3 x}}{3}) + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Langkah 17.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1.1

Faktorkan $3$ dari $81$ .

$3 (27) \frac{x^{3} e^{3 x}}{3} + 81 (- \frac{x^{2} e^{3 x}}{3}) + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Langkah 17.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \cdot 27 \frac{x^{3} e^{3 x}}{3} + 81 (- \frac{x^{2} e^{3 x}}{3}) + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Langkah 17.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$27 (x^{3} e^{3 x}) + 81 (- \frac{x^{2} e^{3 x}}{3}) + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Langkah 17.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{x^{2} e^{3 x}}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$27 (x^{3} e^{3 x}) + 81 \frac{- x^{2} e^{3 x}}{3} + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Langkah 17.2.2.2

Faktorkan $3$ dari $81$ .

$27 (x^{3} e^{3 x}) + 3 (27) \frac{- x^{2} e^{3 x}}{3} + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Langkah 17.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$27 (x^{3} e^{3 x}) + 3 \cdot 27 \frac{- x^{2} e^{3 x}}{3} + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Langkah 17.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$27 (x^{3} e^{3 x}) + 27 (- x^{2} e^{3 x}) + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Langkah 17.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $27$ .

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Langkah 17.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.4.1

Faktorkan $9$ dari $81$ .

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 9 (9) \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Langkah 17.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 9 \cdot 9 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Langkah 17.2.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 9 (2 x e^{3 x}) + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Langkah 17.2.5

Kalikan $2$ dengan $9$ .

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 18 (x e^{3 x}) + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Langkah 17.2.6

Batalkan faktor persekutuan dari $27$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.6.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{2 e^{3 x}}{27}$ ke dalam pembilangnya.

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 18 (x e^{3 x}) + 81 \frac{- 2 e^{3 x}}{27} + C$

Langkah 17.2.6.2

Faktorkan $27$ dari $81$ .

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 18 (x e^{3 x}) + 27 (3) \frac{- 2 e^{3 x}}{27} + C$

Langkah 17.2.6.3

Batalkan faktor persekutuan.

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 18 (x e^{3 x}) + 27 \cdot 3 \frac{- 2 e^{3 x}}{27} + C$

Langkah 17.2.6.4

Tulis kembali pernyataannya.

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 18 (x e^{3 x}) + 3 (- 2 e^{3 x}) + C$

Langkah 17.2.7

Kalikan $- 2$ dengan $3$ .

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 18 (x e^{3 x}) - 6 e^{3 x} + C$

Langkah 17.3

Hilangkan tanda kurung.

$27 x^{3} e^{3 x} - 27 x^{2} e^{3 x} + 18 x e^{3 x} - 6 e^{3 x} + C$