Kalkulus Contoh

$\int_{- 8}^{8} 8 x^{3} e^{- x^{4}} d x$

Langkah 1

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $8$ keluar dari integral.

$8 \int_{- 8}^{8} x^{3} e^{- x^{4}} d x$

Langkah 2

Biarkan $u_{1} = x^{2}$ . Kemudian $d u_{1} = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u_{1} = x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{lower} = {(- 8)}^{2}$

Langkah 2.3

Naikkan $- 8$ menjadi pangkat $2$ .

$u_{lower} = 64$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{upper} = 8^{2}$

Langkah 2.5

Naikkan $8$ menjadi pangkat $2$ .

$u_{upper} = 64$

Langkah 2.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 64$

$u_{upper} = 64$

Langkah 2.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ , $d u_{1}$ , dan batas integral yang baru.

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ sebagai ${u_{1}}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u_{1}}$ sebagai ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 3.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 3.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $4$ .

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 3.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 3.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 3.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 3.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 3.1.4.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $u_{1}$ .

$8 \int_{64}^{64} \frac{u_{1}}{2} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Langkah 3.3

Gabungkan $\frac{u_{1}}{2}$ dan $e^{- {u_{1}}^{2}}$ .

$8 \int_{64}^{64} \frac{u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$8 (\frac{1}{2} \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1})$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $8$ .

$\frac{8}{2} \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Langkah 5.2

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Langkah 5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Langkah 5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Langkah 5.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4}{1} \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Langkah 5.2.2.4

Bagilah $4$ dengan $1$ .

$4 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Langkah 6

Biarkan $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . Kemudian $d u_{2} = - 2 u_{1} d u_{1}$ sehingga $- \frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $- {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

Langkah 6.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $- {u_{1}}^{2}$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Langkah 6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- (2 u_{1})$

Langkah 6.1.4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 u_{1}$

Langkah 6.2

Substitusikan batas bawah untuk $u_{1}$ di $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ .

$u_{lower} = - 64^{2}$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Naikkan $64$ menjadi pangkat $2$ .

$u_{lower} = - 1 \cdot 4096$

Langkah 6.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $4096$ .

$u_{lower} = - 4096$

Langkah 6.4

Substitusikan batas atas untuk $u_{1}$ di $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ .

$u_{upper} = - 64^{2}$

Langkah 6.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Naikkan $64$ menjadi pangkat $2$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 4096$

Langkah 6.5.2

Kalikan $- 1$ dengan $4096$ .

$u_{upper} = - 4096$

Langkah 6.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = - 4096$

$u_{upper} = - 4096$

Langkah 6.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$4 \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$4 \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Langkah 7.2

Gabungkan $e^{u_{2}}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$4 \int_{- 4096}^{- 4096} - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Langkah 8

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$4 (- \int_{- 4096}^{- 4096} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Langkah 9

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$- 4 \int_{- 4096}^{- 4096} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Langkah 10

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- 4 (\frac{1}{2} \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 4$ .

$\frac{- 4}{2} \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 11.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2} \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 11.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 11.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 11.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 2}{1} \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 11.2.2.4

Bagilah $- 2$ dengan $1$ .

$- 2 \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 12

Integral dari $e^{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $e^{u_{2}}$ .

$- 2 (e^{u_{2}}]_{- 4096}^{- 4096})$

Langkah 13

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Evaluasi $e^{u_{2}}$ pada $- 4096$ dan pada $- 4096$ .

$- 2 ((e^{- 4096}) - e^{- 4096})$

Langkah 13.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Kurangi $e^{- 4096}$ dengan $e^{- 4096}$ .

$- 2 \cdot 0$

Langkah 13.2.2

Kalikan $- 2$ dengan $0$ .

$0$

Langkah 14