Kalkulus Contoh

$\int_{5}^{10} \sqrt{100 - x^{2}} d x$

Langkah 1

Biarkan $x = 10 \sin (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = 10 \cos (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $10 \cos (t)$ positif.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{100 - {(10 \sin (t))}^{2}} (10 \cos (t)) d t$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan $\sqrt{100 - {(10 \sin (t))}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $10 \sin (t)$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{100 - (10^{2} \sin^{2} (t))} (10 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.1.2

Naikkan $10$ menjadi pangkat $2$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{100 - (100 \sin^{2} (t))} (10 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.1.3

Kalikan $100$ dengan $- 1$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{100 - 100 \sin^{2} (t)} (10 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.2

Faktorkan $100$ dari $100$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{100 (1) - 100 \sin^{2} (t)} (10 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.3

Faktorkan $100$ dari $- 100 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{100 (1) + 100 (- \sin^{2} (t))} (10 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.4

Faktorkan $100$ dari $100 (1) + 100 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{100 (1 - \sin^{2} (t))} (10 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.5

Terapkan identitas pythagoras.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{100 \cos^{2} (t)} (10 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.6

Tulis kembali $100 \cos^{2} (t)$ sebagai ${(10 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(10 \cos (t))}^{2}} (10 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 10 \cos (t) (10 \cos (t)) d t$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kalikan $10$ dengan $10$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 100 \cos (t) \cos (t) d t$

Langkah 2.2.2

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 100 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Langkah 2.2.3

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 100 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Langkah 2.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 100 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Langkah 2.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 100 \cos^{2} (t) d t$

Langkah 3

Karena $100$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $100$ keluar dari integral.

$100 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Langkah 4

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\cos^{2} (t)$ sebagai $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$100 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Langkah 5

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$100 (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $100$ .

$\frac{100}{2} \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 6.2

Hapus faktor persekutuan dari $100$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Faktorkan $2$ dari $100$ .

$\frac{2 \cdot 50}{2} \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 \cdot 50}{2 (1)} \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 6.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1} \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 6.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{50}{1} \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 6.2.2.4

Bagilah $50$ dengan $1$ .

$50 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 7

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$50 (\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Langkah 8

Terapkan aturan konstanta.

$50 (t]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Langkah 9

Biarkan $u = 2 t$ . Kemudian $d u = 2 d t$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Biarkan $u = 2 t$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Diferensialkan $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Langkah 9.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 9.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 9.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 9.2

Substitusikan batas bawah untuk $t$ di $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{6}$

Langkah 9.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (3)}$

Langkah 9.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Langkah 9.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{lower} = \frac{π}{3}$

Langkah 9.4

Substitusikan batas atas untuk $t$ di $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Langkah 9.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Langkah 9.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = π$

Langkah 9.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = \frac{π}{3}$

$u_{upper} = π$

Langkah 9.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$50 (t]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{3}}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Langkah 10

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$50 (t]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{3}}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Langkah 11

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$50 (t]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{\frac{π}{3}}^{π} \cos (u) d u)$

Langkah 12

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$50 (t]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{\frac{π}{3}}^{π})$

Langkah 13

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (u)]_{\frac{π}{3}}^{π}$ .

$50 (t]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u)]_{\frac{π}{3}}^{π}}{2})$

Langkah 14

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Evaluasi $t$ pada $\frac{π}{2}$ dan pada $\frac{π}{6}$ .

$50 ((\frac{π}{2}) - \frac{π}{6} + \frac{\sin (u)]_{\frac{π}{3}}^{π}}{2})$

Langkah 14.2

Evaluasi $\sin (u)$ pada $π$ dan pada $\frac{π}{3}$ .

$50 ((\frac{π}{2}) - \frac{π}{6} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Langkah 14.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1

Untuk menuliskan $\frac{π}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$50 (\frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Langkah 14.3.2

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $6$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.2.1

Kalikan $\frac{π}{2}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$50 (\frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{6} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Langkah 14.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$50 (\frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π}{6} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Langkah 14.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$50 (\frac{π \cdot 3 - π}{6} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Langkah 14.3.4

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $π$ .

$50 (\frac{3 \cdot π - π}{6} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Langkah 14.3.5

Kurangi $π$ dengan $3 π$ .

$50 (\frac{2 π}{6} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Langkah 14.3.6

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.6.1

Faktorkan $2$ dari $2 π$ .

$50 (\frac{2 (π)}{6} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Langkah 14.3.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$50 (\frac{2 π}{2 \cdot 3} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Langkah 14.3.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$50 (\frac{2 π}{2 \cdot 3} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Langkah 14.3.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$50 (\frac{π}{3} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

$50 (\frac{π}{3} + \frac{\sin (π) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Langkah 15

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$50 (\frac{π}{3} + \frac{\sin (π) - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2})$

Langkah 16

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$50 (\frac{π}{3} + \frac{\sin (0) - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2})$

Langkah 16.1.1.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$50 (\frac{π}{3} + \frac{0 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2})$

Langkah 16.1.1.3

Kurangi $\frac{\sqrt{3}}{2}$ dengan $0$ .

$50 (\frac{π}{3} + \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2})$

Langkah 16.1.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$50 (\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Langkah 16.1.3

Kalikan $- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.3.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$50 (\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2})$

Langkah 16.1.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$50 (\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4})$

Langkah 16.2

Terapkan sifat distributif.

$50 \frac{π}{3} + 50 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

Langkah 16.3

Gabungkan $50$ dan $\frac{π}{3}$ .

$\frac{50 π}{3} + 50 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

Langkah 16.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\sqrt{3}}{4}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{50 π}{3} + 50 \frac{- \sqrt{3}}{4}$

Langkah 16.4.2

Faktorkan $2$ dari $50$ .

$\frac{50 π}{3} + 2 (25) \frac{- \sqrt{3}}{4}$

Langkah 16.4.3

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{50 π}{3} + 2 \cdot 25 \frac{- \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Langkah 16.4.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{50 π}{3} + 2 \cdot 25 \frac{- \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Langkah 16.4.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{50 π}{3} + 25 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Langkah 16.5

Gabungkan $25$ dan $\frac{- \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{50 π}{3} + \frac{25 (- \sqrt{3})}{2}$

Langkah 16.6

Kalikan $- 1$ dengan $25$ .

$\frac{50 π}{3} + \frac{- 25 \sqrt{3}}{2}$

Langkah 16.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{50 π}{3} - \frac{25 \sqrt{3}}{2}$

Langkah 17

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{50 π}{3} - \frac{25 \sqrt{3}}{2}$

Bentuk Desimal:

$30.70924246 \dots$

Langkah 18