Kalkulus Contoh

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{16 x^{2} - 9}} d x$

Langkah 1

Biarkan $x = \frac{3}{4} \sec (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4}$ positif.

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 {(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan $\sqrt{16 {(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} - 9}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Gabungkan $\frac{3}{4}$ dan $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 {(\frac{3 \sec (t)}{4})}^{2} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Langkah 2.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3 \sec (t)}{4}$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 \frac{{(3 \sec (t))}^{2}}{4^{2}} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Langkah 2.1.1.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 \frac{3^{2} \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Langkah 2.1.1.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Langkah 2.1.1.4

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 \frac{9 \sec^{2} (t)}{16} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Langkah 2.1.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 \frac{9 \sec^{2} (t)}{16} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Langkah 2.1.1.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Langkah 2.1.2

Faktorkan $9$ dari $9 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Langkah 2.1.3

Faktorkan $9$ dari $- 9$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Langkah 2.1.4

Faktorkan $9$ dari $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Langkah 2.1.5

Terapkan identitas pythagoras.

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Langkah 2.1.6

Tulis kembali $9 \tan^{2} (t)$ sebagai ${(3 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Langkah 2.1.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} (3 \tan (t))} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Langkah 2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Gabungkan $\frac{3}{4}$ dan $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3 \sec (t)}{4})}^{2} (3 \tan (t))} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Langkah 2.2.1.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri ${(\frac{3 \sec (t)}{4})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{3 {(\frac{3 \sec (t)}{4})}^{2} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Langkah 2.2.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3 \sec (t)}{4}$ .

$\int \frac{1}{3 \frac{{(3 \sec (t))}^{2}}{4^{2}} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Langkah 2.2.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{3 \frac{3^{2} \sec^{2} (t)}{4^{2}} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\int \frac{1}{3 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4^{2}} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Langkah 2.2.3.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\int \frac{1}{3 \frac{9 \sec^{2} (t)}{16} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Langkah 2.2.3.3

Gabungkan $3$ dan $\frac{9 \sec^{2} (t)}{16}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 (9 \sec^{2} (t))}{16} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Langkah 2.2.3.4

Kalikan $9$ dengan $3$ .

$\int \frac{1}{\frac{27 \sec^{2} (t)}{16} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Langkah 2.2.3.5

Gabungkan $\frac{27 \sec^{2} (t)}{16}$ dan $\tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{27 \sec^{2} (t) \tan (t)}{16}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Langkah 2.2.3.6

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{27 \sec^{2} (t) \tan (t)}{16}$ .

$\int 1 \frac{16}{27 \sec^{2} (t) \tan (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Langkah 2.2.3.7

Kalikan $\frac{16}{27 \sec^{2} (t) \tan (t)}$ dengan $1$ .

$\int \frac{16}{27 \sec^{2} (t) \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Langkah 2.2.3.8

Kalikan $\frac{16}{27 \sec^{2} (t) \tan (t)}$ dengan $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4}$ .

$\int \frac{16 (3 \sec (t) \tan (t))}{27 \sec^{2} (t) \tan (t) \cdot 4} d t$

Langkah 2.2.3.9

Kalikan $3$ dengan $16$ .

$\int \frac{48 (\sec (t) \tan (t))}{27 \sec^{2} (t) \tan (t) \cdot 4} d t$

Langkah 2.2.3.10

Kalikan $4$ dengan $27$ .

$\int \frac{48 (\sec (t) \tan (t))}{108 \sec^{2} (t) \tan (t)} d t$

Langkah 2.2.3.11

Hapus faktor persekutuan dari $48$ dan $108$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.11.1

Faktorkan $12$ dari $48 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{12 (4 \sec (t) \tan (t))}{108 \sec^{2} (t) \tan (t)} d t$

Langkah 2.2.3.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.11.2.1

Faktorkan $12$ dari $108 \sec^{2} (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{12 (4 \sec (t) \tan (t))}{12 (9 \sec^{2} (t) \tan (t))} d t$

Langkah 2.2.3.11.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{12 (4 \sec (t) \tan (t))}{12 (9 \sec^{2} (t) \tan (t))} d t$

Langkah 2.2.3.11.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{4 \sec (t) \tan (t)}{9 \sec^{2} (t) \tan (t)} d t$

Langkah 2.2.3.12

Hapus faktor persekutuan dari $\sec (t)$ dan $\sec^{2} (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.12.1

Faktorkan $\sec (t)$ dari $4 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) (4 \tan (t))}{9 \sec^{2} (t) \tan (t)} d t$

Langkah 2.2.3.12.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.12.2.1

Faktorkan $\sec (t)$ dari $9 \sec^{2} (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) (4 \tan (t))}{\sec (t) (9 \sec (t) \tan (t))} d t$

Langkah 2.2.3.12.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{\sec (t) (4 \tan (t))}{\sec (t) (9 \sec (t) \tan (t))} d t$

Langkah 2.2.3.12.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{4 \tan (t)}{9 \sec (t) \tan (t)} d t$

Langkah 2.2.3.13

Batalkan faktor persekutuan dari $\tan (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.13.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{4 \tan (t)}{9 \sec (t) \tan (t)} d t$

Langkah 2.2.3.13.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{4}{9 \sec (t)} d t$

Langkah 3

Karena $\frac{4}{9}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{4}{9}$ keluar dari integral.

$\frac{4}{9} \int \frac{1}{\sec (t)} d t$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $\sec (t)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\frac{4}{9} \int \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

Langkah 4.2

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\frac{4}{9} \int 1 \cos (t) d t$

Langkah 4.3

Kalikan $\cos (t)$ dengan $1$ .

$\frac{4}{9} \int \cos (t) d t$

Langkah 5

Integral dari $\cos (t)$ terhadap $t$ adalah $\sin (t)$ .

$\frac{4}{9} (\sin (t) + C)$

Langkah 6

Sederhanakan.

$\frac{4}{9} \sin (t) + C$

Langkah 7

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $arcsec (\frac{4 x}{3})$ .

$\frac{4}{9} \sin (arcsec (\frac{4 x}{3})) + C$

Langkah 8

Susun kembali suku-suku.

$\frac{4}{9} \sin (arcsec (\frac{4}{3} x)) + C$