Kalkulus Contoh

$\int (3 x^{2} - 1) \cos (2 x) d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = 3 x^{2} - 1$ dan $d v = \cos (2 x)$ .

$(3 x^{2} - 1) (\frac{1}{2} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (6 x) d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (2 x)$ .

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (6 x) d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (2 x)$ .

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{\sin (2 x)}{2} (6 x) d x$

Langkah 2.3

Gabungkan $6$ dan $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{6 \sin (2 x)}{2} x d x$

Langkah 2.4

Gabungkan $\frac{6 \sin (2 x)}{2}$ dan $x$ .

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{6 \sin (2 x) x}{2} d x$

Langkah 2.5

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Faktorkan $2$ dari $6 \sin (2 x) x$ .

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{2 (3 \sin (2 x) x)}{2} d x$

Langkah 2.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{2 (3 \sin (2 x) x)}{2 (1)} d x$

Langkah 2.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{2 (3 \sin (2 x) x)}{2 \cdot 1} d x$

Langkah 2.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{3 \sin (2 x) x}{1} d x$

Langkah 2.5.2.4

Bagilah $3 \sin (2 x) x$ dengan $1$ .

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - \int 3 \sin (2 x) x d x$

Langkah 3

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - (3 \int \sin (2 x) x d x)$

Langkah 4

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 \int \sin (2 x) x d x$

Langkah 5

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \sin (2 x)$ .

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan $\cos (2 x)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Langkah 6.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Langkah 6.3

Gabungkan $\cos (2 x)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Langkah 7

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - - \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Langkah 8.2

Kalikan $\int \frac{\cos (2 x)}{2} d x$ dengan $1$ .

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Langkah 9

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Langkah 10

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 10.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 10.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 10.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 10.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Langkah 11

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Langkah 12

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u)$

Langkah 13.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u)$

Langkah 14

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Tulis kembali $(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$ sebagai $\frac{x^{2} (3 \sin (2 x))}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$ .

$\frac{x^{2} (3 \sin (2 x))}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Langkah 15.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $\sin (u)$ .

$\frac{x^{2} (3 \sin (2 x))}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) + C$

Langkah 15.2.2

Untuk menuliskan $- 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (u)}{4})$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} (3 \sin (2 x))}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Langkah 15.2.3

Gabungkan $- 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (u)}{4})$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} (3 \sin (2 x))}{2} + \frac{- 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) \cdot 2}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Langkah 15.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x^{2} (3 \sin (2 x)) - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) \cdot 2}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Langkah 15.2.5

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$\frac{x^{2} (3 \sin (2 x)) - 6 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (u)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Langkah 16

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$\frac{x^{2} (3 \sin (2 x)) - 6 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Langkah 17

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1.1

Faktorkan $3$ dari $x^{2} (3 \sin (2 x)) - 6 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1.1.1

Faktorkan $3$ dari $x^{2} (3 \sin (2 x))$ .

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x))) - 6 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Langkah 17.1.1.2

Faktorkan $3$ dari $- 6 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4})$ .

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x))) + 3 (- 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}))}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Langkah 17.1.1.3

Faktorkan $3$ dari $3 (x^{2} (\sin (2 x))) + 3 (- 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}))$ .

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) - 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}))}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Langkah 17.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) - 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2}) - 2 \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Langkah 17.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{x \cos (2 x)}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) - 2 \frac{- x \cos (2 x)}{2} - 2 \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Langkah 17.1.3.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) + 2 (- 1) \frac{- x \cos (2 x)}{2} - 2 \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Langkah 17.1.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) + 2 \cdot - 1 \frac{- x \cos (2 x)}{2} - 2 \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Langkah 17.1.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) - 1 (- x \cos (2 x)) - 2 \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Langkah 17.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) + 1 (x \cos (2 x)) - 2 \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Langkah 17.1.5

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) + x \cos (2 x) - 2 \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Langkah 17.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1.6.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) + x \cos (2 x) + 2 (- 1) \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Langkah 17.1.6.2

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) + x \cos (2 x) + 2 \cdot - 1 \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Langkah 17.1.6.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) + x \cos (2 x) + 2 \cdot - 1 \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Langkah 17.1.6.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) + x \cos (2 x) - 1 \frac{\sin (2 x)}{2})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Langkah 17.1.7

Tulis kembali $- 1 \frac{\sin (2 x)}{2}$ sebagai $- \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) + x \cos (2 x) - \frac{\sin (2 x)}{2})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Langkah 17.1.8

Untuk menuliskan $x^{2} (\sin (2 x))$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (x \cos (2 x) + x^{2} (\sin (2 x)) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Langkah 17.1.9

Gabungkan $x^{2} (\sin (2 x))$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (x \cos (2 x) + \frac{x^{2} (\sin (2 x)) \cdot 2}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Langkah 17.1.10

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{3 (x \cos (2 x) + \frac{x^{2} (\sin (2 x)) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Langkah 17.1.11

Untuk menuliskan $x \cos (2 x)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (x \cos (2 x) \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2} (\sin (2 x)) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Langkah 17.1.12

Gabungkan $x \cos (2 x)$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (\frac{x \cos (2 x) \cdot 2}{2} + \frac{x^{2} (\sin (2 x)) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Langkah 17.1.13

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{3 \frac{x \cos (2 x) \cdot 2 + x^{2} (\sin (2 x)) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Langkah 17.1.14

Tulis kembali $\frac{x \cos (2 x) \cdot 2 + x^{2} (\sin (2 x)) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}$ dalam bentuk faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1.14.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x \cos (2 x)$ .

$\frac{3 \frac{2 \cdot (x \cos (2 x)) + x^{2} (\sin (2 x)) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Langkah 17.1.14.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{2} (\sin (2 x))$ .

$\frac{3 \frac{2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)}{2}}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Langkah 17.2

Gabungkan $3$ dan $\frac{2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{\frac{3 (2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x))}{2}}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Langkah 17.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{3 (2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x))}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Langkah 17.4

Gabungkan.

$\frac{3 (2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)) \cdot 1}{2 \cdot 2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Langkah 17.5

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{3 (2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x))}{2 \cdot 2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Langkah 17.6

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{3 (2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x))}{4} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Langkah 17.7

Susun kembali suku-suku.

$\frac{3}{4} (2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)) - \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$