Kalkulus Contoh

$\int \sqrt{x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}} d x$

Langkah 1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{4}$ .

$\int \sqrt{x^{2} x^{2} - 2 x^{3} + x^{2}} d x$

Langkah 1.1.2

Faktorkan $x^{2}$ dari $- 2 x^{3}$ .

$\int \sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2}} d x$

Langkah 1.1.3

Kalikan dengan $1$ .

$\int \sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1} d x$

Langkah 1.1.4

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x)$ .

$\int \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 x) + x^{2} \cdot 1} d x$

Langkah 1.1.5

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} (x^{2} - 2 x) + x^{2} \cdot 1$ .

$\int \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 x + 1)} d x$

Langkah 1.2

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\int \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 x + 1^{2})} d x$

Langkah 1.2.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali polinomialnya.

$\int \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})} d x$

Langkah 1.2.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$\int \sqrt{x^{2} {(x - 1)}^{2}} d x$

Langkah 1.3

Tulis kembali $x^{2} {(x - 1)}^{2}$ sebagai ${(x (x - 1))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(x (x - 1))}^{2}} d x$

Langkah 1.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int x (x - 1) d x$

Langkah 1.5

Terapkan sifat distributif.

$\int x \cdot x + x \cdot - 1 d x$

Langkah 1.6

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\int x^{2} + x \cdot - 1 d x$

Langkah 1.7

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$\int x^{2} - 1 \cdot x d x$

Langkah 1.8

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$\int x^{2} - x d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int x^{2} d x + \int - x d x$

Langkah 3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - x d x$

Langkah 4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - \int x d x$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 6

Sederhanakan.

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + C$