Kalkulus Contoh

$\int \frac{{(1 + 3 \sqrt{y})}^{2}}{\sqrt{y}} d y$

Langkah 1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{y}$ sebagai $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(1 + 3 y^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{y}} d y$

Langkah 1.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{y}$ sebagai $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(1 + 3 y^{\frac{1}{2}})}^{2}}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

Langkah 1.3

Pindahkan $y^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(1 + 3 y^{\frac{1}{2}})}^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y$

Langkah 1.4

Kalikan eksponen dalam ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(1 + 3 y^{\frac{1}{2}})}^{2} y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y$

Langkah 1.4.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\int {(1 + 3 y^{\frac{1}{2}})}^{2} y^{\frac{- 1}{2}} d y$

Langkah 1.4.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int {(1 + 3 y^{\frac{1}{2}})}^{2} y^{- \frac{1}{2}} d y$

Langkah 2

Biarkan $u = 1 + 3 y^{\frac{1}{2}}$ . Kemudian $d u = \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}} d y$ sehingga $- d u = \frac{- 3}{2 y^{\frac{1}{2}}} d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u = 1 + 3 y^{\frac{1}{2}}$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $1 + 3 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + 3 y^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + 3 y^{\frac{1}{2}}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [3 y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [3 y^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [3 y^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [3 y^{\frac{1}{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3 y^{\frac{1}{2}}$ terhadap $y$ adalah $3 \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + 3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1})$

Langkah 2.1.3.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$0 + 3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Langkah 2.1.3.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$0 + 3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 2.1.3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$0 + 3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 2.1.3.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$0 + 3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}})$

Langkah 2.1.3.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$0 + 3 (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}})$

Langkah 2.1.3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$0 + 3 (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}})$

Langkah 2.1.3.8

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 + 3 \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 2.1.3.9

Gabungkan $3$ dan $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$0 + \frac{3 y^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 2.1.3.10

Pindahkan $y^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.1.4

Tambahkan $0$ dan $\frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{2}{3} u^{2} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{2}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{2}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{2}{3} \int u^{2} d u$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{2}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali $\frac{2}{3} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ sebagai $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 3} u^{3} + C$

Langkah 5.2.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{2}{9} u^{3} + C$

Langkah 6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + 3 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{9} {(1 + 3 y^{\frac{1}{2}})}^{3} + C$