Kalkulus Contoh

$\int y {(y^{4} - 2 y^{3} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

Langkah 1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tulis kembali $y^{4}$ sebagai ${(y^{2})}^{2}$ .

$\int y {({(y^{2})}^{2} - 2 y^{3} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

Langkah 1.1.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$2 y^{3} = 2 \cdot y^{2} \cdot y$

Langkah 1.1.3

Tulis kembali polinomialnya.

$\int y {({(y^{2})}^{2} - 2 \cdot y^{2} \cdot y + y^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

Langkah 1.1.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , di mana $a = y^{2}$ dan $b = y$ .

$\int y {({(y^{2} - y)}^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

Langkah 1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y {(y^{2} - y)}^{2 (\frac{1}{2})} d y$

Langkah 1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int y {(y^{2} - y)}^{2 (\frac{1}{2})} d y$

Langkah 1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int y {(y^{2} - y)}^{1} d y$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

$\int y (y^{2} - y) d y$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Terapkan sifat distributif.

$\int y \cdot y^{2} + y (- y) d y$

Langkah 2.2

Susun kembali $y$ dan $- 1$ .

$\int y \cdot y^{2} - 1 \cdot y \cdot y d y$

Langkah 2.3

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\int y^{1} y^{2} - 1 y \cdot y d y$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int y^{1 + 2} - 1 y \cdot y d y$

Langkah 2.5

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\int y^{3} - 1 y \cdot y d y$

Langkah 2.6

Buang faktor negatif.

$\int y^{3} - (y \cdot y) d y$

Langkah 2.7

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\int y^{3} - (y^{1} y) d y$

Langkah 2.8

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\int y^{3} - (y^{1} y^{1}) d y$

Langkah 2.9

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int y^{3} - y^{1 + 1} d y$

Langkah 2.10

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int y^{3} - y^{2} d y$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int y^{3} d y + \int - y^{2} d y$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{3}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C + \int - y^{2} d y$

Langkah 5

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} y^{4} + C - \int y^{2} d y$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C - (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Langkah 7

Sederhanakan.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C$