Kalkulus Contoh

$f (x) = \tan (x) \cos (x)$

Langkah 1

Mempertimbangkan definisi batas turunannya.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Langkah 2

Tentukan komponen dari definisinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi fungsi pada $x = x + h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $x + h$ pada pernyataan tersebut.

$f (x + h) = \tan (x + h) \cos (x + h)$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Tulis kembali dalam bentuk sinus dan kosinus, kemudian batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Tulis kembali $\tan (x + h) \cos (x + h)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$f (x + h) = \frac{\sin (x + h)}{\cos (x + h)} \cdot \cos (x + h)$

Langkah 2.1.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x + h) = \sin (x + h)$

Langkah 2.1.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\sin (x + h)$ .

$\sin (x + h)$

Langkah 2.2

Tentukan komponen dari definisinya.

$f (x + h) = \sin (x + h)$

$f (x) = \sin (x)$

$f (x + h) = \sin (x + h)$

$f (x) = \sin (x)$

Langkah 3

Masukkan komponen.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) - (\sin (x))}{h}$

Langkah 4

Use a sum or difference formula on the numerator.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gunakan rumus penjumlahan sinus untuk menyederhanakan pernyataannya. Rumusnya menyatakan bahwa $\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h)) - (\sin (x))}{h}$

Langkah 4.2

Hilangkan tanda kurung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h)) - (\sin (x))}{h}$

Langkah 4.3

Kalikan $- 1$ dengan $\sin (x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)}{h}$

Langkah 5

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{h \to 0} \sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 5.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $h$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \sin (x) \cos (h) + lim_{h \to 0} \cos (x) \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 5.1.2.2

Pindahkan suku $\sin (x)$ ke luar limit karena konstan terhadap $h$ .

$\frac{\sin (x) lim_{h \to 0} \cos (h) + lim_{h \to 0} \cos (x) \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 5.1.2.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} \cos (x) \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 5.1.2.4

Pindahkan suku $\cos (x)$ ke luar limit karena konstan terhadap $h$ .

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) lim_{h \to 0} \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 5.1.2.5

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) \sin (lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 5.1.2.6

Evaluasi limit dari $\sin (x)$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) \sin (lim_{h \to 0} h) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 5.1.2.7

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.7.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\sin (x) \cos (0) + \cos (x) \sin (lim_{h \to 0} h) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 5.1.2.7.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\sin (x) \cos (0) + \cos (x) \sin (0) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 5.1.2.8

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.8.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.8.1.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (0) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 5.1.2.8.1.2

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$\frac{\sin (x) + \cos (x) \sin (0) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 5.1.2.8.1.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{\sin (x) + \cos (x) \cdot 0 - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 5.1.2.8.1.4

Kalikan $\cos (x)$ dengan $0$ .

$\frac{\sin (x) + 0 - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 5.1.2.8.2

Gabungkan suku balikan dalam $\sin (x) + 0 - \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.8.2.1

Tambahkan $\sin (x)$ dan $0$ .

$\frac{\sin (x) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 5.1.2.8.2.2

Kurangi $\sin (x)$ dengan $\sin (x)$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 5.1.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{0}$

Langkah 5.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 5.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 5.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 5.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)$ terhadap $h$ adalah $\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h)] + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h)] + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 5.3.3

Evaluasi $\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Karena $\sin (x)$ konstan terhadap $h$ , turunan dari $\sin (x) \cos (h)$ terhadap $h$ adalah $\sin (x) \frac{d}{d h} [\cos (h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d h} [\cos (h)] + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 5.3.3.2

Turunan dari $\cos (h)$ terhadap $h$ adalah $- \sin (h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 5.3.4

Evaluasi $\frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Karena $\cos (x)$ konstan terhadap $h$ , turunan dari $\cos (x) \sin (h)$ terhadap $h$ adalah $\cos (x) \frac{d}{d h} [\sin (h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \frac{d}{d h} [\sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 5.3.4.2

Turunan dari $\sin (h)$ terhadap $h$ adalah $\cos (h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h) + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 5.3.5

Karena $- \sin (x)$ konstan terhadap $h$ , turunan dari $- \sin (x)$ terhadap $h$ adalah $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 5.3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.6.1

Tambahkan $\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h)$ dan $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 5.3.6.2

Susun kembali suku-suku.

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 5.3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ adalah $n h^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)}{1}$

Langkah 5.4

Bagilah $- \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)$ dengan $1$ .

$lim_{h \to 0} - \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)$

Langkah 6

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $h$ mendekati $0$ .

$- lim_{h \to 0} \sin (h) \sin (x) + lim_{h \to 0} \cos (h) \cos (x)$

Langkah 6.2

Pindahkan suku $\sin (x)$ ke luar limit karena konstan terhadap $h$ .

$- \sin (x) lim_{h \to 0} \sin (h) + lim_{h \to 0} \cos (h) \cos (x)$

Langkah 6.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$- \sin (x) \sin (lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} \cos (h) \cos (x)$

Langkah 6.4

Pindahkan suku $\cos (x)$ ke luar limit karena konstan terhadap $h$ .

$- \sin (x) \sin (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) lim_{h \to 0} \cos (h)$

Langkah 6.5

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$- \sin (x) \sin (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) \cos (lim_{h \to 0} h)$

Langkah 7

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$- \sin (x) \sin (0) + \cos (x) \cos (lim_{h \to 0} h)$

Langkah 7.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$- \sin (x) \sin (0) + \cos (x) \cos (0)$

Langkah 8

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$- \sin (x) \cdot 0 + \cos (x) \cos (0)$

Langkah 8.1.2

Kalikan $- \sin (x) \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.2.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$0 \sin (x) + \cos (x) \cos (0)$

Langkah 8.1.2.2

Kalikan $0$ dengan $\sin (x)$ .

$0 + \cos (x) \cos (0)$

Langkah 8.1.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$0 + \cos (x) \cdot 1$

Langkah 8.1.4

Kalikan $\cos (x)$ dengan $1$ .

$0 + \cos (x)$

Langkah 8.2

Tambahkan $0$ dan $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Langkah 9