Kalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt[4]{x}$ , $[1, 16]$

Langkah 1

Untuk menentukan rerata nilai fungsi, fungsinya harus kontinu pada interval tertutup $[a, b]$ . Untuk menentukan apakah $f (x)$ kontinu di $[1, 16]$ atau tidak, tentukan domain dari $f (x) = \sqrt[4]{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt[4]{x}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$x \geq 0$

Langkah 1.2

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$[0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \geq 0}$

Notasi Interval:

$[0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \geq 0}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[1, 16]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\int_{1}^{16} \sqrt[4]{x} d x)$

Langkah 5

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[4]{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{4}}$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\int_{1}^{16} x^{\frac{1}{4}} d x)$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{\frac{1}{4}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}]_{1}^{16})$

Langkah 7

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}$ pada $16$ dan pada $1$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} ((\frac{4}{5} \cdot 16^{\frac{5}{4}}) - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Tulis kembali $16$ sebagai $2^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot {(2^{4})}^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Langkah 7.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot 2^{4 (\frac{5}{4})} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Langkah 7.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot 2^{4 (\frac{5}{4})} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Langkah 7.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot 2^{5} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Langkah 7.2.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $5$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot 32 - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Langkah 7.2.5

Gabungkan $\frac{4}{5}$ dan $32$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4 \cdot 32}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Langkah 7.2.6

Kalikan $4$ dengan $32$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{128}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Langkah 7.2.7

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{128}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1)$

Langkah 7.2.8

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{128}{5} - \frac{4}{5})$

Langkah 7.2.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{128 - 4}{5})$

Langkah 7.2.10

Kurangi $4$ dengan $128$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{124}{5})$

Langkah 8

Kurangi $1$ dengan $16$ .

$A (x) = \frac{1}{15} \cdot \frac{124}{5}$

Langkah 9

Kalikan $\frac{1}{15} \cdot \frac{124}{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kalikan $\frac{1}{15}$ dengan $\frac{124}{5}$ .

$A (x) = \frac{124}{15 \cdot 5}$

Langkah 9.2

Kalikan $15$ dengan $5$ .

$A (x) = \frac{124}{75}$

Langkah 10