Kalkulus Contoh

$x y^{2} - 2 x^{2} y = 1 + x^{2}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x y^{2} - 2 x^{2} y) = \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x y^{2} - 2 x^{2} y$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Langkah 2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Langkah 2.2.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Langkah 2.2.6

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x^{2} y$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$2 x y y' + y^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

$2 x y y' + y^{2} - 2 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} - 2 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x y y' + y^{2} - 2 (x^{2} y' + y (2 x))$

Langkah 2.3.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$2 x y y' + y^{2} - 2 (x^{2} y' + 2 y x)$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$2 x y y' + y^{2} - 2 (x^{2} y') - 2 (2 y x)$

Langkah 2.4.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$2 x y y' + y^{2} - 2 x^{2} y' - 4 y x$

Langkah 2.4.3

Susun kembali suku-suku.

$y^{2} + 2 x y y' - 2 x^{2} y' - 4 x y$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Langkah 3.4

Tambahkan $0$ dan $2 x$ .

$2 x$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y^{2} + 2 x y y' - 2 x^{2} y' - 4 x y = 2 x$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kurangkan $y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x y y' - 2 x^{2} y' - 4 x y = 2 x - y^{2}$

Langkah 5.1.2

Tambahkan $4 x y$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x y y' - 2 x^{2} y' = 2 x - y^{2} + 4 x y$

Langkah 5.2

Faktorkan $2 x y'$ dari $2 x y y' - 2 x^{2} y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $2 x y'$ dari $2 x y y'$ .

$2 x y' y - 2 x^{2} y' = 2 x - y^{2} + 4 x y$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $2 x y'$ dari $- 2 x^{2} y'$ .

$2 x y' y + 2 x y' (- x) = 2 x - y^{2} + 4 x y$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $2 x y'$ dari $2 x y' y + 2 x y' (- x)$ .

$2 x y' (y - x) = 2 x - y^{2} + 4 x y$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $2 x y' (y - x) = 2 x - y^{2} + 4 x y$ dengan $2 x (y - x)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $2 x y' (y - x) = 2 x - y^{2} + 4 x y$ dengan $2 x (y - x)$ .

$\frac{2 x y' (y - x)}{2 x (y - x)} = \frac{2 x}{2 x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x y' (y - x)}{2 x (y - x)} = \frac{2 x}{2 x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Langkah 5.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x y' (y - x)}{x (y - x)} = \frac{2 x}{2 x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Langkah 5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y' (y - x)}{x (y - x)} = \frac{2 x}{2 x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Langkah 5.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{2 x}{2 x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Langkah 5.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{2 x}{2 x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Langkah 5.3.2.3.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{2 x}{2 x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{2 x}{2 x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Langkah 5.3.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{x}{x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Langkah 5.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{x}{x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Langkah 5.3.3.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{1}{y - x} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Langkah 5.3.3.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{1}{y - x} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Langkah 5.3.3.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $4 x y$ .

$y' = \frac{1}{y - x} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 (2 x y)}{2 x (y - x)}$

Langkah 5.3.3.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 x (y - x)$ .

$y' = \frac{1}{y - x} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 (2 x y)}{2 (x (y - x))}$

Langkah 5.3.3.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{1}{y - x} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 (2 x y)}{2 (x (y - x))}$

Langkah 5.3.3.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{1}{y - x} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 x y}{x (y - x)}$

Langkah 5.3.3.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{1}{y - x} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 x y}{x (y - x)}$

Langkah 5.3.3.1.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{1}{y - x} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 y}{y - x}$

Langkah 5.3.3.2

Untuk menuliskan $\frac{1}{y - x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2 x}{2 x}$ .

$y' = \frac{1}{y - x} \cdot \frac{2 x}{2 x} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 y}{y - x}$

Langkah 5.3.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $(y - x) \cdot 2 x$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1

Kalikan $\frac{1}{y - x}$ dengan $\frac{2 x}{2 x}$ .

$y' = \frac{2 x}{(y - x) (2 x)} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 y}{y - x}$

Langkah 5.3.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(y - x) (2 x)$ .

$y' = \frac{2 x}{2 x (y - x)} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 y}{y - x}$

Langkah 5.3.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{2 x - y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 y}{y - x}$

Langkah 5.3.3.5

Untuk menuliskan $\frac{2 y}{y - x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2 x}{2 x}$ .

$y' = \frac{2 x - y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 y}{y - x} \cdot \frac{2 x}{2 x}$

Langkah 5.3.3.6

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $2 x (y - x)$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.6.1

Kalikan $\frac{2 y}{y - x}$ dengan $\frac{2 x}{2 x}$ .

$y' = \frac{2 x - y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 y (2 x)}{(y - x) (2 x)}$

Langkah 5.3.3.6.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(y - x) (2 x)$ .

$y' = \frac{2 x - y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 y (2 x)}{2 x (y - x)}$

Langkah 5.3.3.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{2 x - y^{2} + 2 y (2 x)}{2 x (y - x)}$

Langkah 5.3.3.8

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y' = \frac{2 x - y^{2} + 4 y x}{2 x (y - x)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - y^{2} + 4 y x}{2 x (y - x)}$