Kalkulus Contoh

$y = 2 x^{2} \sqrt{2 - x}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2 - x}$ sebagai ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 2 x^{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 x^{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 3

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{\frac{1}{2}}] + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 4.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = 2 - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 - x$ .

$2 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 4.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 4.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 - x$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 4.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 4.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 4.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 (x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 4.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 4.7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 4.8

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$2 (x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 4.8.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (x^{2} (\frac{{(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 4.8.3

Pindahkan ${(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 4.8.4

Gabungkan $\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x] + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 4.9

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 - x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 4.10

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 4.11

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 4.12

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 4.13

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 4.14

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.14.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 4.14.2

Gabungkan $\frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $- 1$ .

$2 (\frac{x^{2} \cdot - 1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 4.14.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.14.3.1

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$2 (\frac{- 1 \cdot x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 4.14.3.2

Tulis kembali $- 1 x^{2}$ sebagai $- x^{2}$ .

$2 (\frac{- x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 4.14.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$2 (- \frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 4.15

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 (- \frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 x))$

Langkah 4.16

Susun kembali.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.16.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (- \frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} x)$

Langkah 4.16.2

Pindahkan ${(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (- \frac{x^{2}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 4.17

Untuk menuliskan $2 x {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 (- \frac{x^{2}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 4.18

Gabungkan $2 x {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 (- \frac{x^{2}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 4.19

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 \frac{- x^{2} + 2 x {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.20

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$2 \frac{- x^{2} + 4 x {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.21

Kalikan ${(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.21.1

Pindahkan ${(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{- x^{2} + 4 x ({(- x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.21.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 \frac{- x^{2} + 4 x {(- x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.21.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 \frac{- x^{2} + 4 x {(- x + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.21.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$2 \frac{- x^{2} + 4 x {(- x + 2)}^{\frac{2}{2}}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.21.5

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$2 \frac{- x^{2} + 4 x {(- x + 2)}^{1}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.22

Sederhanakan $4 x {(- x + 2)}^{1}$ .

$2 \frac{- x^{2} + 4 x (- x + 2)}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.23

Gabungkan $2$ dan $\frac{- x^{2} + 4 x (- x + 2)}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x (- x + 2))}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.24

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x (- x + 2))}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.25

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- x^{2} + 4 x (- x + 2)}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.26

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.26.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{- x^{2} + 4 x (- x) + 4 x \cdot 2}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.26.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.26.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.26.2.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{- x^{2} + 4 \cdot - 1 x \cdot x + 4 x \cdot 2}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.26.2.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.26.2.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{- x^{2} + 4 \cdot - 1 (x \cdot x) + 4 x \cdot 2}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.26.2.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{- x^{2} + 4 \cdot - 1 x^{2} + 4 x \cdot 2}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.26.2.1.3

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x^{2} + 4 x \cdot 2}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.26.2.1.4

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x^{2} + 8 x}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.26.2.2

Kurangi $4 x^{2}$ dengan $- x^{2}$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 8 x}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.26.3

Faktorkan $x$ dari $- 5 x^{2} + 8 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.26.3.1

Faktorkan $x$ dari $- 5 x^{2}$ .

$\frac{x (- 5 x) + 8 x}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.26.3.2

Faktorkan $x$ dari $8 x$ .

$\frac{x (- 5 x) + x \cdot 8}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.26.3.3

Faktorkan $x$ dari $x (- 5 x) + x \cdot 8$ .

$\frac{x (- 5 x + 8)}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.26.4

Faktorkan $- 1$ dari $- 5 x$ .

$\frac{x (- (5 x) + 8)}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.26.5

Tulis kembali $8$ sebagai $- 1 (- 8)$ .

$\frac{x (- (5 x) - 1 (- 8))}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.26.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (5 x) - 1 (- 8)$ .

$\frac{x (- (5 x - 8))}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.26.7

Tulis kembali $- (5 x - 8)$ sebagai $- 1 (5 x - 8)$ .

$\frac{x (- 1 (5 x - 8))}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.26.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{x (5 x - 8)}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = - \frac{x (5 x - 8)}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (5 x - 8)}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$