Kalkulus Contoh

$\int_{2}^{6} x \sqrt{x - 2} d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \sqrt{x - 2}$ .

$x (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})]_{2}^{6} - \int_{2}^{6} \frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}} d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan ${(x - 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{2}^{6} - \int_{2}^{6} \frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}} d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x (2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{2}^{6} - \int_{2}^{6} \frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}} d x$

Langkah 3

Karena $\frac{2}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{2}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{x (2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{2}^{6} - (\frac{2}{3} \int_{2}^{6} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Langkah 4

Biarkan $u = x - 2$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = x - 2$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Langkah 4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 2$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 4.1.4

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 4.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 4.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = x - 2$ .

$u_{lower} = 2 - 2$

Langkah 4.3

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 4.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = x - 2$ .

$u_{upper} = 6 - 2$

Langkah 4.5

Kurangi $2$ dengan $6$ .

$u_{upper} = 4$

Langkah 4.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4$

Langkah 4.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{x (2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{2}^{6} - \frac{2}{3} \int_{0}^{4} u^{\frac{3}{2}} d u$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{3}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{2}^{6} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{4}$

Langkah 6

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Evaluasi $\frac{x (2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}$ pada $6$ dan pada $2$ .

$(\frac{6 (2 {(6 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{4}$

Langkah 6.2

Evaluasi $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ pada $4$ dan pada $0$ .

$(\frac{6 (2 {(6 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kurangi $2$ dengan $6$ .

$\frac{6 (2 \cdot 4^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{6 (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.3

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 (2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6 (2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{6 (2 \cdot 2^{3})}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.5

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{6 (2 \cdot 8)}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.6

Kalikan $2$ dengan $8$ .

$\frac{6 \cdot 16}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.7

Kalikan $6$ dengan $16$ .

$\frac{96}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.8

Hapus faktor persekutuan dari $96$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.8.1

Faktorkan $3$ dari $96$ .

$\frac{3 \cdot 32}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.8.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{3 \cdot 32}{3 (1)} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \cdot 32}{3 \cdot 1} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.8.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{32}{1} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.8.2.4

Bagilah $32$ dengan $1$ .

$32 - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.9

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$32 - \frac{2 (2 \cdot 0^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.10

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$32 - \frac{2 (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.11

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 - \frac{2 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.12

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.12.1

Batalkan faktor persekutuan.

$32 - \frac{2 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.12.2

Tulis kembali pernyataannya.

$32 - \frac{2 (2 \cdot 0^{3})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.13

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$32 - \frac{2 (2 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.14

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$32 - \frac{2 \cdot 0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.15

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$32 - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.16

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.16.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$32 - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.16.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.16.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$32 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.16.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$32 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.16.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$32 - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.16.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$32 - 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.17

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$32 + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.18

Tambahkan $32$ dan $0$ .

$32 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.19

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.20

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.21

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.21.1

Batalkan faktor persekutuan.

$32 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.21.2

Tulis kembali pernyataannya.

$32 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.22

Naikkan $2$ menjadi pangkat $5$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 32 - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.23

Gabungkan $\frac{2}{5}$ dan $32$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.24

Kalikan $2$ dengan $32$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.25

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.26

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

Langkah 6.3.27

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.27.1

Batalkan faktor persekutuan.

$32 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

Langkah 6.3.27.2

Tulis kembali pernyataannya.

$32 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{5})$

Langkah 6.3.28

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0)$

Langkah 6.3.29

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} + 0 (\frac{2}{5}))$

Langkah 6.3.30

Kalikan $0$ dengan $\frac{2}{5}$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} + 0)$

Langkah 6.3.31

Tambahkan $\frac{64}{5}$ dan $0$ .

$32 - \frac{2}{3} \cdot \frac{64}{5}$

Langkah 6.3.32

Kalikan $\frac{64}{5}$ dengan $\frac{2}{3}$ .

$32 - \frac{64 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

Langkah 6.3.33

Kalikan $64$ dengan $2$ .

$32 - \frac{128}{5 \cdot 3}$

Langkah 6.3.34

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$32 - \frac{128}{15}$

Langkah 6.3.35

Untuk menuliskan $32$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{15}{15}$ .

$32 \cdot \frac{15}{15} - \frac{128}{15}$

Langkah 6.3.36

Gabungkan $32$ dan $\frac{15}{15}$ .

$\frac{32 \cdot 15}{15} - \frac{128}{15}$

Langkah 6.3.37

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{32 \cdot 15 - 128}{15}$

Langkah 6.3.38

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.38.1

Kalikan $32$ dengan $15$ .

$\frac{480 - 128}{15}$

Langkah 6.3.38.2

Kurangi $128$ dengan $480$ .

$\frac{352}{15}$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{352}{15}$

Bentuk Desimal:

$23.4\overline{6}$

Bentuk Bilangan Campuran:

$23 \frac{7}{15}$

Langkah 8