Kalkulus Contoh

$\int \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Langkah 1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 + x^{2})}^{3}}} d x$

Langkah 2

Biarkan $x = \tan (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ positif.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 + \tan^{2} (t))}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Langkah 3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan $\sqrt{{(1 + \tan^{2} (t))}^{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Susun kembali suku-suku.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{2} (t) + 1)}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Langkah 3.1.2

Terapkan identitas pythagoras.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{2} (t))}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Langkah 3.1.3

Kalikan eksponen dalam ${(\sec^{2} (t))}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{\sec (t)}^{2 \cdot 3}}} \sec^{2} (t) d t$

Langkah 3.1.3.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{\sec^{6} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Langkah 3.1.4

Tulis kembali $\sec^{6} (t)$ sebagai ${(\sec^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{3} (t))}^{2}}} \sec^{2} (t) d t$

Langkah 3.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int \frac{1}{\sec^{3} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Langkah 3.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\sec^{2} (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Faktorkan $\sec^{2} (t)$ dari $\sec^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Langkah 3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Langkah 3.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{1}{\sec (t)} d t$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Tulis kembali $\sec (t)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

Langkah 3.2.2.2

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\int 1 \cos (t) d t$

Langkah 3.2.2.3

Kalikan $\cos (t)$ dengan $1$ .

$\int \cos (t) d t$

Langkah 4

Integral dari $\cos (t)$ terhadap $t$ adalah $\sin (t)$ .

$\sin (t) + C$

Langkah 5

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arctan (x)$ .

$\sin (\arctan (x)) + C$