Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\infty} e^{- x} d x$

Langkah 1

Tulis integral sebagai limit ketika $t$ mendekati $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{- x} d x$

Langkah 2

Biarkan $u = - x$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u = - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Langkah 2.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = - x$ .

$u_{upper} = - t$

Langkah 2.5

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - t$

Langkah 2.6

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- t} - e^{u} d u$

Langkah 3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

Langkah 4

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{u}]_{0}^{- t})$

Langkah 5

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi $e^{u}$ pada $- t$ dan pada $0$ .

$lim_{t \to \infty} - ((e^{- t}) - e^{0})$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{- t} - 1 \cdot 1)$

Langkah 5.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{- t} - 1)$

Langkah 6

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$- lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1$

Langkah 6.1.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $t$ mendekati $\infty$ .

$- (lim_{t \to \infty} e^{- t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Langkah 6.2

Karena eksponen $- t$ mendekati $- \infty$ , jumlah $e^{- t}$ mendekati $0$ .

$- (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Langkah 6.3

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$- (0 - 1 \cdot 1)$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- (0 - 1)$

Langkah 6.3.2.2

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$- - 1$

Langkah 6.3.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1$