Kalkulus Contoh

$\int \sqrt{3 - 2 x} x^{2} d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x^{2}$ dan $d v = \sqrt{3 - 2 x}$ .

$x^{2} (- \frac{1}{3} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{3} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan ${(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} (- \frac{{(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - \int - \frac{1}{3} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{{(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{1}{3} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Langkah 3

Karena $- \frac{1}{3} \cdot 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- \frac{1}{3} \cdot 2$ keluar dari integral.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \frac{1}{3} \cdot 2 \int {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (- 2 (\frac{1}{3}) \int {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Langkah 4.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{- 2}{3} \int {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Langkah 4.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \frac{2}{3} \int {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Langkah 4.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 (\frac{2}{3} \int {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Langkah 4.5

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $1$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} \int {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x$

Langkah 5

Biarkan $u = 3 - 2 x$ . Kemudian $d u = - 2 d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = 3 - 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $3 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Langkah 5.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 - 2 x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Langkah 5.1.2.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Langkah 5.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Langkah 5.1.3.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$0 - 2$

Langkah 5.1.4

Kurangi $2$ dengan $0$ .

$- 2$

Langkah 5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) \frac{1}{- 2} d u$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) (- \frac{1}{2}) d u$

Langkah 6.2

Gabungkan $u^{\frac{3}{2}}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} \int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) (- \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2}) d u$

Langkah 7

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) (\frac{u^{\frac{3}{2}}}{2}) d u)$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int - \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Langkah 8.2

Gabungkan $- \frac{u}{2}$ dan $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int - \frac{u \cdot u^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Langkah 8.3

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int - \frac{u^{1} u^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Langkah 8.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int - \frac{u^{1 + \frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Langkah 8.5

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int - \frac{u^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Langkah 8.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int - \frac{u^{\frac{2 + 3}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Langkah 8.7

Tambahkan $2$ dan $3$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Langkah 8.8

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Langkah 8.9

Kalikan $\frac{3}{2}$ dengan $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{3 u^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} d u)$

Langkah 8.10

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{3 u^{\frac{3}{2}}}{4} d u)$

Langkah 8.11

Susun kembali $- \frac{u^{\frac{5}{2}}}{4}$ dan $\frac{3 u^{\frac{3}{2}}}{4}$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int \frac{3 u^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{4} d u)$

Langkah 9

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- (\int \frac{3 u^{\frac{3}{2}}}{4} d u + \int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{4} d u))$

Langkah 10

Karena $\frac{3}{4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{3}{4}$ keluar dari integral.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{3}{4} \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{4} d u))$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{3}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{3}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{4} d u))$

Langkah 12

Gabungkan $\frac{2}{5}$ dan $u^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{3}{4} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{4} d u))$

Langkah 13

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{3}{4} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) - \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{4} d u))$

Langkah 14

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{3}{4} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) - (\frac{1}{4} \int u^{\frac{5}{2}} d u)))$

Langkah 15

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{5}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{3}{4} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) - \frac{1}{4} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C)))$

Langkah 16

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Gabungkan $\frac{2}{7}$ dan $u^{\frac{7}{2}}$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{3}{4} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) - \frac{1}{4} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C)))$

Langkah 16.2

Sederhanakan.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14})) + C$

Langkah 16.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.1

Untuk menuliskan $\frac{2}{3} (- (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14}))$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14})) \cdot \frac{3}{3} + C$

Langkah 16.3.2

Gabungkan $\frac{2}{3} (- (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14}))$ dan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{\frac{2}{3} (- (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14})) \cdot 3}{3} + C$

Langkah 16.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14})) \cdot 3}{3} + C$

Langkah 16.3.4

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $3$ .

$\frac{- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} - (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14}) \cdot \frac{2 \cdot 3}{3}}{3} + C$

Langkah 16.3.5

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} - (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14}) \cdot \frac{6}{3}}{3} + C$

Langkah 16.3.6

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.6.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$\frac{- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} - (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14}) \cdot \frac{3 \cdot 2}{3}}{3} + C$

Langkah 16.3.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.6.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} - (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14}) \cdot \frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}{3} + C$

Langkah 16.3.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} - (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14}) \cdot \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}{3} + C$

Langkah 16.3.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} - (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14}) \cdot \frac{2}{1}}{3} + C$

Langkah 16.3.6.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$\frac{- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} - (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14}) \cdot 2}{3} + C$

Langkah 16.3.7

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14})}{3} + C$

Langkah 17

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 - 2 x$ .

$\frac{- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{{(3 - 2 x)}^{\frac{7}{2}}}{14})}{3} + C$

Langkah 18

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{3} (- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{10} {(3 - 2 x)}^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{14} {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{2}})) + C$