Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} \frac{y}{e^{2 y}} d y$

Langkah 1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tiadakan eksponen dari $e^{2 y}$ dan pindahkan dari penyebut.

$\int_{0}^{1} y {(e^{2 y})}^{- 1} d y$

Langkah 1.2

Kalikan eksponen dalam ${(e^{2 y})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} y e^{2 y \cdot - 1} d y$

Langkah 1.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\int_{0}^{1} y e^{- 2 y} d y$

Langkah 2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = y$ dan $d v = e^{- 2 y}$ .

$y (- \frac{1}{2} e^{- 2 y})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $e^{- 2 y}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$y (- \frac{e^{- 2 y}}{2})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y$

Langkah 3.2

Gabungkan $y$ dan $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y$

Langkah 4

Karena $- \frac{1}{2}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- \frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{- 2 y} d y)$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{- 2 y} d y)$

Langkah 5.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{- 2 y} d y$

Langkah 6

Biarkan $u = - 2 y$ . Kemudian $d u = - 2 d y$ sehingga $- \frac{1}{2} d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u = - 2 y$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $- 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

Langkah 6.1.2

Karena $- 2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 2 y$ terhadap $y$ adalah $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Langkah 6.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 2$

Langkah 6.2

Substitusikan batas bawah untuk $y$ di $u = - 2 y$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

Langkah 6.3

Kalikan $- 2$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 6.4

Substitusikan batas atas untuk $y$ di $u = - 2 y$ .

$u_{upper} = - 2 \cdot 1$

Langkah 6.5

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$u_{upper} = - 2$

Langkah 6.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Langkah 6.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Langkah 7.2

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Langkah 8

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} (- \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u)$

Langkah 9

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u))$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

Langkah 10.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

Langkah 11

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{- 2}$

Langkah 12

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Evaluasi $- \frac{y e^{- 2 y}}{2}$ pada $1$ dan pada $0$ .

$(- \frac{1 e^{- 2 \cdot 1}}{2}) + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{- 2}$

Langkah 12.2

Evaluasi $e^{u}$ pada $- 2$ dan pada $0$ .

$(- \frac{1 e^{- 2 \cdot 1}}{2}) + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Langkah 12.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- \frac{1 e^{- 2}}{2} + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Langkah 12.3.2

Kalikan $e^{- 2}$ dengan $1$ .

$- \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Langkah 12.3.3

Pindahkan $e^{- 2}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Langkah 12.3.4

Kalikan $- 2$ dengan $0$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0 e^{0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Langkah 12.3.5

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0 \cdot 1}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Langkah 12.3.6

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Langkah 12.3.7

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.7.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{2 (0)}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Langkah 12.3.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.7.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Langkah 12.3.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Langkah 12.3.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0}{1} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Langkah 12.3.7.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + 0 - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Langkah 12.3.8

Tambahkan $- \frac{1}{2 e^{2}}$ dan $0$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Langkah 12.3.9

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1 \cdot 1)$

Langkah 12.3.10

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1)$

Langkah 12.3.11

Untuk menuliskan $- \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1) \cdot \frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$

Langkah 12.3.12

Gabungkan $- \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1)$ dan $\frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1) (2 e^{2})}{2 e^{2}}$

Langkah 12.3.13

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 1 - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1) (2 e^{2})}{2 e^{2}}$

Langkah 12.3.14

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 1 - 2 (\frac{1}{4}) (e^{- 2} - 1) e^{2}}{2 e^{2}}$

Langkah 12.3.15

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 1 + \frac{- 2}{4} (e^{- 2} - 1) e^{2}}{2 e^{2}}$

Langkah 12.3.16

Gabungkan $e^{2}$ dan $\frac{- 2}{4}$ .

$\frac{- 1 + \frac{e^{2} \cdot - 2}{4} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Langkah 12.3.17

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $e^{2}$ .

$\frac{- 1 + \frac{- 2 \cdot e^{2}}{4} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Langkah 12.3.18

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.18.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 e^{2}$ .

$\frac{- 1 + \frac{2 (- e^{2})}{4} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Langkah 12.3.18.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.18.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{- 1 + \frac{2 (- e^{2})}{2 (2)} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Langkah 12.3.18.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1 + \frac{2 (- e^{2})}{2 \cdot 2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Langkah 12.3.18.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1 + \frac{- e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Langkah 12.3.19

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{- 1 - \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Langkah 13.2

Faktorkan $- 1$ dari $- \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)$ .

$\frac{- 1 (1) - (\frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1))}{2 e^{2}}$

Langkah 13.3

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1) - (\frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1))$ .

$\frac{- 1 (1 + \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1))}{2 e^{2}}$

Langkah 13.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1 + \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Langkah 14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{1 + \frac{e^{2}}{2} e^{- 2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

Langkah 14.2

Kalikan $\frac{e^{2}}{2} e^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Gabungkan $\frac{e^{2}}{2}$ dan $e^{- 2}$ .

$- \frac{1 + \frac{e^{2} e^{- 2}}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

Langkah 14.2.2

Kalikan $e^{2}$ dengan $e^{- 2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.2.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{1 + \frac{e^{2 - 2}}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

Langkah 14.2.2.2

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$- \frac{1 + \frac{e^{0}}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

Langkah 14.2.3

Sederhanakan $e^{0}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

Langkah 14.3

Gabungkan $\frac{e^{2}}{2}$ dan $- 1$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{e^{2} \cdot - 1}{2}}{2 e^{2}}$

Langkah 14.4

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{2}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Langkah 14.5

Tulis kembali $- 1 e^{2}$ sebagai $- e^{2}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Langkah 14.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.6.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$- \frac{\frac{2}{2} + \frac{1}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Langkah 14.6.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{\frac{2 + 1}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Langkah 14.6.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$- \frac{\frac{3}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Langkah 14.6.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{\frac{3 - e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Langkah 14.7

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$- (\frac{3 - e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{2}})$

Langkah 14.8

Kalikan $\frac{3 - e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.8.1

Kalikan $\frac{3 - e^{2}}{2}$ dengan $\frac{1}{2 e^{2}}$ .

$- \frac{3 - e^{2}}{2 (2 e^{2})}$

Langkah 14.8.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{3 - e^{2}}{4 e^{2}}$

Langkah 15

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- \frac{3 - e^{2}}{4 e^{2}}$

Bentuk Desimal:

$0.14849853 \dots$

Langkah 16