Kalkulus Contoh

Tentukan Maksimum dan Minimum Lokal f(x)=x+9/x
Langkah 1
Tentukan turunan pertama dari fungsi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.1
Diferensialkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.1.1
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap (Variabel1) adalah .
Langkah 1.1.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 1.2
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.2.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 1.2.2
Tulis kembali sebagai .
Langkah 1.2.3
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 1.2.4
Kalikan dengan .
Langkah 1.3
Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif .
Langkah 1.4
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1
Gabungkan suku-sukunya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1.1
Gabungkan dan .
Langkah 1.4.1.2
Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.
Langkah 1.4.2
Susun kembali suku-suku.
Langkah 2
Tentukan turunan kedua dari fungsi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.1
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap (Variabel1) adalah .
Langkah 2.2
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.2.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.2.2
Tulis kembali sebagai .
Langkah 2.2.3
Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.2.3.1
Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur sebagai .
Langkah 2.2.3.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.2.3.3
Ganti semua kemunculan dengan .
Langkah 2.2.4
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.2.5
Kalikan eksponen dalam .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.2.5.1
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, .
Langkah 2.2.5.2
Kalikan dengan .
Langkah 2.2.6
Kalikan dengan .
Langkah 2.2.7
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 2.2.8
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 2.2.9
Kurangi dengan .
Langkah 2.2.10
Kalikan dengan .
Langkah 2.3
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.4
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.4.1
Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif .
Langkah 2.4.2
Gabungkan suku-sukunya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.4.2.1
Gabungkan dan .
Langkah 2.4.2.2
Tambahkan dan .
Langkah 3
Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan , lalu selesaikan.
Langkah 4
Tentukan turunan pertamanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1
Tentukan turunan pertamanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.1
Diferensialkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.1.1
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap (Variabel1) adalah .
Langkah 4.1.1.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 4.1.2
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.2.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 4.1.2.2
Tulis kembali sebagai .
Langkah 4.1.2.3
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 4.1.2.4
Kalikan dengan .
Langkah 4.1.3
Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif .
Langkah 4.1.4
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.4.1
Gabungkan suku-sukunya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.4.1.1
Gabungkan dan .
Langkah 4.1.4.1.2
Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.
Langkah 4.1.4.2
Susun kembali suku-suku.
Langkah 4.2
Turunan pertama dari terhadap adalah .
Langkah 5
Buat turunan pertamanya agar sama dengan dan selesaikan persamaan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.1
Buat turunan pertamanya agar sama dengan .
Langkah 5.2
Kurangkan dari kedua sisi persamaan tersebut.
Langkah 5.3
Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.3.1
Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.
Langkah 5.3.2
KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.
Langkah 5.4
Kalikan setiap suku pada dengan untuk mengeliminasi pecahan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.4.1
Kalikan setiap suku dalam dengan .
Langkah 5.4.2
Sederhanakan sisi kirinya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.4.2.1
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.4.2.1.1
Pindahkan negatif pertama pada ke dalam pembilangnya.
Langkah 5.4.2.1.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 5.4.2.1.3
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 5.5
Selesaikan persamaan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.5.1
Tulis kembali persamaan tersebut sebagai .
Langkah 5.5.2
Bagi setiap suku pada dengan dan sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.5.2.1
Bagilah setiap suku di dengan .
Langkah 5.5.2.2
Sederhanakan sisi kirinya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.5.2.2.1
Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.
Langkah 5.5.2.2.2
Bagilah dengan .
Langkah 5.5.2.3
Sederhanakan sisi kanannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.5.2.3.1
Bagilah dengan .
Langkah 5.5.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Langkah 5.5.4
Sederhanakan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.5.4.1
Tulis kembali sebagai .
Langkah 5.5.4.2
Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.
Langkah 5.5.5
Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.5.5.1
Pertama, gunakan nilai positif dari untuk menemukan penyelesaian pertama.
Langkah 5.5.5.2
Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari untuk menemukan penyelesaian kedua.
Langkah 5.5.5.3
Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.
Langkah 6
Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.1
Atur penyebut dalam agar sama dengan untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.
Langkah 6.2
Selesaikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.2.1
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Langkah 6.2.2
Sederhanakan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.2.2.1
Tulis kembali sebagai .
Langkah 6.2.2.2
Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.
Langkah 6.2.2.3
Tambah atau kurang adalah .
Langkah 7
Titik kritis untuk dievaluasi.
Langkah 8
Evaluasi turunan kedua pada . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.
Langkah 9
Evaluasi turunan keduanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 9.2
Hapus faktor persekutuan dari dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.2.1
Faktorkan dari .
Langkah 9.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.2.2.1
Faktorkan dari .
Langkah 9.2.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 9.2.2.3
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 10
adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.
adalah minimum lokal
Langkah 11
Tentukan nilai y ketika .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 11.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 11.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 11.2.1
Bagilah dengan .
Langkah 11.2.2
Tambahkan dan .
Langkah 11.2.3
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 12
Evaluasi turunan kedua pada . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.
Langkah 13
Evaluasi turunan keduanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 13.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 13.2
Hapus faktor persekutuan dari dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 13.2.1
Faktorkan dari .
Langkah 13.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 13.2.2.1
Faktorkan dari .
Langkah 13.2.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 13.2.2.3
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 13.3
Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.
Langkah 14
adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.
adalah maksimum lokal
Langkah 15
Tentukan nilai y ketika .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 15.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 15.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 15.2.1
Bagilah dengan .
Langkah 15.2.2
Kurangi dengan .
Langkah 15.2.3
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 16
Ini adalah ekstrem lokal untuk .
adalah minimum lokal
adalah maksimum lokal
Langkah 17