Kalkulus Contoh

$2 x^{3} + x^{2} y - x y^{3} = 2$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (2 x^{3} + x^{2} y - x y^{3}) = \frac{d}{d x} (2)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{3} + x^{2} y - x y^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

$6 x^{2} + x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Langkah 2.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Langkah 2.3.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x y^{3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - \frac{d}{d x} [x y^{3}]$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y^{3}$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.4.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.4.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.4.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.4.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.4.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1)$

Langkah 2.4.6

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1)$

Langkah 2.4.7

Kalikan $y^{3}$ dengan $1$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (3 x y^{2} y' + y^{3})$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Terapkan sifat distributif.

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (3 x y^{2} y') - y^{3}$

Langkah 2.5.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - 3 x y^{2} y' - y^{3}$

Langkah 2.5.3

Susun kembali suku-suku.

$- y^{3} + 6 x^{2} + x^{2} y' + 2 x y - 3 y^{2} x y'$

Langkah 3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$- y^{3} + 6 x^{2} + x^{2} y' + 2 x y - 3 y^{2} x y' = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Tambahkan $y^{3}$ ke kedua sisi persamaan.

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 x y - 3 y^{2} x y' = y^{3}$

Langkah 5.1.2

Kurangkan $6 x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} y' + 2 x y - 3 y^{2} x y' = y^{3} - 6 x^{2}$

Langkah 5.1.3

Kurangkan $2 x y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} y' - 3 y^{2} x y' = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$

Langkah 5.2

Faktorkan $x y'$ dari $x^{2} y' - 3 y^{2} x y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $x y'$ dari $x^{2} y'$ .

$x y' x - 3 y^{2} x y' = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $x y'$ dari $- 3 y^{2} x y'$ .

$x y' x + x y' (- 3 y^{2}) = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $x y'$ dari $x y' x + x y' (- 3 y^{2})$ .

$x y' (x - 3 y^{2}) = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $x y' (x - 3 y^{2}) = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$ dengan $x (x - 3 y^{2})$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $x y' (x - 3 y^{2}) = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$ dengan $x (x - 3 y^{2})$ .

$\frac{x y' (x - 3 y^{2})}{x (x - 3 y^{2})} = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y' (x - 3 y^{2})}{x (x - 3 y^{2})} = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Langkah 5.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (x - 3 y^{2})}{x - 3 y^{2}} = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Langkah 5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x - 3 y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (x - 3 y^{2})}{x - 3 y^{2}} = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Langkah 5.3.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1.1

Faktorkan $x$ dari $- 6 x^{2}$ .

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{x (- 6 x)}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Langkah 5.3.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{x (- 6 x)}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Langkah 5.3.3.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x}{x - 3 y^{2}} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Langkah 5.3.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x}{x - 3 y^{2}} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Langkah 5.3.3.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x}{x - 3 y^{2}} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Langkah 5.3.3.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x}{x - 3 y^{2}} + \frac{- 2 y}{x - 3 y^{2}}$

Langkah 5.3.3.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x}{x - 3 y^{2}} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

Langkah 5.3.3.2

Untuk menuliskan $- \frac{6 x}{x - 3 y^{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x}{x - 3 y^{2}} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

Langkah 5.3.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $x (x - 3 y^{2})$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1

Kalikan $\frac{6 x}{x - 3 y^{2}}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x \cdot x}{(x - 3 y^{2}) x} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

Langkah 5.3.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(x - 3 y^{2}) x$ .

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x \cdot x}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

Langkah 5.3.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{y^{3} - 6 x \cdot x}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

Langkah 5.3.3.5

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.5.1

Pindahkan $x$ .

$y' = \frac{y^{3} - 6 (x \cdot x)}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

Langkah 5.3.3.5.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$y' = \frac{y^{3} - 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

Langkah 5.3.3.6

Untuk menuliskan $- \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{3} - 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Langkah 5.3.3.7

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $x (x - 3 y^{2})$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.7.1

Kalikan $\frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{3} - 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y x}{(x - 3 y^{2}) x}$

Langkah 5.3.3.7.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(x - 3 y^{2}) x$ .

$y' = \frac{y^{3} - 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y x}{x (x - 3 y^{2})}$

Langkah 5.3.3.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{y^{3} - 6 x^{2} - 2 y x}{x (x - 3 y^{2})}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{3} - 6 x^{2} - 2 y x}{x (x - 3 y^{2})}$