Kalkulus Contoh

$\int x^{2} \cos (3 x) d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x^{2}$ dan $d v = \cos (3 x)$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} \sin (3 x)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) (2 x) d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $\sin (3 x)$ .

$x^{2} \frac{\sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) (2 x) d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{\sin (3 x)}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) (2 x) d x$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{3} \cdot 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{3} \cdot 2$ keluar dari integral.

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int \sin (3 x) (x) d x)$

Langkah 4

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} \int \sin (3 x) (x) d x$

Langkah 5

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \sin (3 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (x (- \frac{1}{3} \cos (3 x)) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) d x)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan $\cos (3 x)$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (x (- \frac{\cos (3 x)}{3}) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) d x)$

Langkah 6.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{\cos (3 x)}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3} - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) d x)$

Langkah 6.3

Gabungkan $\cos (3 x)$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3} - \int - \frac{\cos (3 x)}{3} d x)$

Langkah 7

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3} - - \int \frac{\cos (3 x)}{3} d x)$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3} + 1 \int \frac{\cos (3 x)}{3} d x)$

Langkah 8.2

Kalikan $\int \frac{\cos (3 x)}{3} d x$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \int \frac{\cos (3 x)}{3} d x)$

Langkah 9

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} \int \cos (3 x) d x)$

Langkah 10

Biarkan $u = 3 x$ . Kemudian $d u = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Biarkan $u = 3 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Diferensialkan $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 10.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 10.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 10.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 10.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} \int \cos (u) \frac{1}{3} d u)$

Langkah 11

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} \int \frac{\cos (u)}{3} d u)$

Langkah 12

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \cos (u) d u))$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3 \cdot 3} \int \cos (u) d u)$

Langkah 13.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{9} \int \cos (u) d u)$

Langkah 14

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u) + C))$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Tulis kembali $\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u) + C))$ sebagai $\frac{1}{3} x^{2} \sin (3 x) - \frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x \cos (3 x) + \frac{1}{9} \sin (u)) + C$ .

$\frac{1}{3} x^{2} \sin (3 x) - \frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x \cos (3 x) + \frac{1}{9} \sin (u)) + C$

Langkah 15.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{3} \sin (3 x) - \frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x \cos (3 x) + \frac{1}{9} \sin (u)) + C$

Langkah 15.2.2

Gabungkan $\frac{x^{2}}{3}$ dan $\sin (3 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x \cos (3 x) + \frac{1}{9} \sin (u)) + C$

Langkah 15.2.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x}{3} \cos (3 x) + \frac{1}{9} \sin (u)) + C$

Langkah 15.2.4

Gabungkan $\cos (3 x)$ dan $\frac{x}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{1}{9} \sin (u)) + C$

Langkah 15.2.5

Gabungkan $\frac{1}{9}$ dan $\sin (u)$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9}) + C$

Langkah 15.2.6

Untuk menuliskan $- \frac{2}{3} (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9})$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9}) \cdot \frac{3}{3} + C$

Langkah 15.2.7

Gabungkan $- \frac{2}{3} (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9})$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} + \frac{- \frac{2}{3} (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9}) \cdot 3}{3} + C$

Langkah 15.2.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x^{2} \sin (3 x) - \frac{2}{3} (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9}) \cdot 3}{3} + C$

Langkah 15.2.9

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x) - 3 (\frac{2}{3}) (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9})}{3} + C$

Langkah 15.2.10

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x) + \frac{- 3 \cdot 2}{3} (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9})}{3} + C$

Langkah 15.2.11

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x) + \frac{- 6}{3} (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9})}{3} + C$

Langkah 15.2.12

Hapus faktor persekutuan dari $- 6$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.12.1

Faktorkan $3$ dari $- 6$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x) + \frac{3 \cdot - 2}{3} (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9})}{3} + C$

Langkah 15.2.12.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.12.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x) + \frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9})}{3} + C$

Langkah 15.2.12.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} \sin (3 x) + \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9})}{3} + C$

Langkah 15.2.12.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{2} \sin (3 x) + \frac{- 2}{1} (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9})}{3} + C$

Langkah 15.2.12.2.4

Bagilah $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x) - 2 (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9})}{3} + C$

Langkah 16

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x) - 2 (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (3 x)}{9})}{3} + C$

Langkah 17

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{\cos (3 x) x}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x) - 2 (- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{\sin (3 x)}{9})}{3} + C$

Langkah 17.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} \sin (3 x) - 2 (- \frac{x \cos (3 x)}{3}) - 2 \frac{\sin (3 x)}{9}}{3} + C$

Langkah 17.2.2

Kalikan $- 2 (- \frac{x \cos (3 x)}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x) + 2 \frac{x \cos (3 x)}{3} - 2 \frac{\sin (3 x)}{9}}{3} + C$

Langkah 17.2.2.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{x \cos (3 x)}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x) + \frac{2 (x \cos (3 x))}{3} - 2 \frac{\sin (3 x)}{9}}{3} + C$

Langkah 17.2.3

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{\sin (3 x)}{9}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x) + \frac{2 (x \cos (3 x))}{3} + \frac{- 2 \sin (3 x)}{9}}{3} + C$

Langkah 17.2.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{x^{2} \sin (3 x) + \frac{2 x \cos (3 x)}{3} - \frac{2 \sin (3 x)}{9}}{3} + C$

Langkah 17.2.5

Untuk menuliskan $x^{2} \sin (3 x)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{9}{9}$ .

$\frac{\frac{2 x \cos (3 x)}{3} + x^{2} \sin (3 x) \cdot \frac{9}{9} - \frac{2 \sin (3 x)}{9}}{3} + C$

Langkah 17.2.6

Gabungkan $x^{2} \sin (3 x)$ dan $\frac{9}{9}$ .

$\frac{\frac{2 x \cos (3 x)}{3} + \frac{x^{2} \sin (3 x) \cdot 9}{9} - \frac{2 \sin (3 x)}{9}}{3} + C$

Langkah 17.2.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{2 x \cos (3 x)}{3} + \frac{x^{2} \sin (3 x) \cdot 9 - 2 \sin (3 x)}{9}}{3} + C$

Langkah 17.2.8

Untuk menuliskan $\frac{2 x \cos (3 x)}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{2 x \cos (3 x)}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{2} \sin (3 x) \cdot 9 - 2 \sin (3 x)}{9}}{3} + C$

Langkah 17.2.9

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $9$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.9.1

Kalikan $\frac{2 x \cos (3 x)}{3}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{2 x \cos (3 x) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{x^{2} \sin (3 x) \cdot 9 - 2 \sin (3 x)}{9}}{3} + C$

Langkah 17.2.9.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{\frac{2 x \cos (3 x) \cdot 3}{9} + \frac{x^{2} \sin (3 x) \cdot 9 - 2 \sin (3 x)}{9}}{3} + C$

Langkah 17.2.10

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{2 x \cos (3 x) \cdot 3 + x^{2} \sin (3 x) \cdot 9 - 2 \sin (3 x)}{9}}{3} + C$

Langkah 17.2.11

Tulis kembali $\frac{2 x \cos (3 x) \cdot 3 + x^{2} \sin (3 x) \cdot 9 - 2 \sin (3 x)}{9}$ dalam bentuk faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.11.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{\frac{6 x \cos (3 x) + x^{2} \sin (3 x) \cdot 9 - 2 \sin (3 x)}{9}}{3} + C$

Langkah 17.2.11.2

Pindahkan $9$ ke sebelah kiri $x^{2} \sin (3 x)$ .

$\frac{\frac{6 x \cos (3 x) + 9 x^{2} \sin (3 x) - 2 \sin (3 x)}{9}}{3} + C$

Langkah 17.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{6 x \cos (3 x) + 9 x^{2} \sin (3 x) - 2 \sin (3 x)}{9} \cdot \frac{1}{3} + C$

Langkah 17.4

Kalikan $\frac{6 x \cos (3 x) + 9 x^{2} \sin (3 x) - 2 \sin (3 x)}{9} \cdot \frac{1}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.4.1

Kalikan $\frac{6 x \cos (3 x) + 9 x^{2} \sin (3 x) - 2 \sin (3 x)}{9}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{6 x \cos (3 x) + 9 x^{2} \sin (3 x) - 2 \sin (3 x)}{9 \cdot 3} + C$

Langkah 17.4.2

Kalikan $9$ dengan $3$ .

$\frac{6 x \cos (3 x) + 9 x^{2} \sin (3 x) - 2 \sin (3 x)}{27} + C$

Langkah 17.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{27} (6 x \cos (3 x) + 9 x^{2} \sin (3 x) - 2 \sin (3 x)) + C$