Kalkulus Contoh

$y = x$ , $y = 3 \sqrt{x}$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$x = 3 \sqrt{x}$

Langkah 1.2

Selesaikan $x = 3 \sqrt{x}$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena akarnya berada pada sisi kanan persamaan, tukar ruasnya sehingga berada pada sisi kiri persamaan.

$3 \sqrt{x} = x$

Langkah 1.2.2

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${(3 \sqrt{x})}^{2} = x^{2}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Sederhanakan ${(3 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Langkah 1.2.3.2.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$9 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Langkah 1.2.3.2.1.3

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Langkah 1.2.3.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Langkah 1.2.3.2.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$9 x^{1} = x^{2}$

Langkah 1.2.3.2.1.4

Sederhanakan.

$9 x = x^{2}$

Langkah 1.2.4

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Kurangkan $x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$9 x - x^{2} = 0$

Langkah 1.2.4.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Biarkan $u = x$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x$ .

$9 u - u^{2} = 0$

Langkah 1.2.4.2.2

Faktorkan $u$ dari $9 u - u^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.2.1

Faktorkan $u$ dari $9 u$ .

$u \cdot 9 - u^{2} = 0$

Langkah 1.2.4.2.2.2

Faktorkan $u$ dari $- u^{2}$ .

$u \cdot 9 + u (- u) = 0$

Langkah 1.2.4.2.2.3

Faktorkan $u$ dari $u \cdot 9 + u (- u)$ .

$u (9 - u) = 0$

Langkah 1.2.4.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x$ .

$x (9 - x) = 0$

Langkah 1.2.4.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$9 - x = 0 + y = 3 \sqrt{x}$

Langkah 1.2.4.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 1.2.4.5

Atur $9 - x$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.5.1

Atur $9 - x$ sama dengan $0$ .

$9 - x = 0$

Langkah 1.2.4.5.2

Selesaikan $9 - x = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.5.2.1

Kurangkan $9$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x = - 9$

Langkah 1.2.4.5.2.2

Bagi setiap suku pada $- x = - 9$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- x = - 9$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Langkah 1.2.4.5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.5.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Langkah 1.2.4.5.2.2.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 9}{- 1}$

Langkah 1.2.4.5.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.5.2.2.3.1

Bagilah $- 9$ dengan $- 1$ .

$x = 9$

Langkah 1.2.4.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $x (9 - x) = 0$ benar.

$x = 0, 9$

Langkah 1.3

Evaluasi $y$ ketika $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$y = 3 \sqrt{0}$

Langkah 1.3.2

Sederhanakan $3 \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 3 \sqrt{0}$

Langkah 1.3.2.2

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$y = 3 \sqrt{0^{2}}$

Langkah 1.3.2.3

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$y = 3 \cdot 0$

Langkah 1.3.2.4

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$y = 0$

Langkah 1.4

Evaluasi $y$ ketika $x = 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Substitusikan $9$ untuk $x$ .

$y = 3 \sqrt{9}$

Langkah 1.4.2

Sederhanakan $3 \sqrt{9}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 3 \sqrt{9}$

Langkah 1.4.2.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$y = 3 \sqrt{3^{2}}$

Langkah 1.4.2.3

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$y = 3 \cdot 3$

Langkah 1.4.2.4

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$y = 9$

Langkah 1.5

Penyelesaian dari sistem adalah himpunan lengkap dari pasangan terurut yang merupakan penyelesaian valid.

$(0, 0)$

$(9, 9)$

$(0, 0)$

$(9, 9)$

Langkah 2

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{0}^{9} 3 \sqrt{x} d x - \int_{0}^{9} x d x$

Langkah 3

Integralkan untuk menghitung luas antara $0$ dan $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{0}^{9} 3 \sqrt{x} - (x) d x$

Langkah 3.2

Kalikan $- 1$ dengan $x$ .

$\int_{0}^{9} 3 \sqrt{x} - x d x$

Langkah 3.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{0}^{9} 3 \sqrt{x} d x + \int_{0}^{9} - x d x$

Langkah 3.4

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$3 \int_{0}^{9} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{9} - x d x$

Langkah 3.5

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int_{0}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{9} - x d x$

Langkah 3.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} - x d x$

Langkah 3.7

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} - x d x$

Langkah 3.8

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{9}) - \int_{0}^{9} x d x$

Langkah 3.9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{9}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{9})$

Langkah 3.10

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{9}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9})$

Langkah 3.10.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.2.1

Evaluasi $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ pada $9$ dan pada $0$ .

$3 ((\frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9})$

Langkah 3.10.2.2

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $9$ dan pada $0$ .

$3 (\frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.2.3.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$3 (\frac{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.2.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$3 (\frac{2 \cdot 3^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.4

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$3 (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.5

Kalikan $2$ dengan $27$ .

$3 (\frac{54}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.6

Hapus faktor persekutuan dari $54$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.2.3.6.1

Faktorkan $3$ dari $54$ .

$3 (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.2.3.6.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$3 (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$3 (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$3 (\frac{18}{1} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.6.2.4

Bagilah $18$ dengan $1$ .

$3 (18 - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.7

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$3 (18 - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.8

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (18 - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.9

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.2.3.9.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 (18 - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.9.2

Tulis kembali pernyataannya.

$3 (18 - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.10

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$3 (18 - \frac{2 \cdot 0}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.11

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$3 (18 - \frac{0}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.12

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.2.3.12.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$3 (18 - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.12.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.2.3.12.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$3 (18 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.12.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$3 (18 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.12.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$3 (18 - \frac{0}{1}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.12.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$3 (18 - 0) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.13

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$3 (18 + 0) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.14

Tambahkan $18$ dan $0$ .

$3 \cdot 18 - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.15

Kalikan $3$ dengan $18$ .

$54 - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.16

Naikkan $9$ menjadi pangkat $2$ .

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.17

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{0}{2})$

Langkah 3.10.2.3.18

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.2.3.18.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Langkah 3.10.2.3.18.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.2.3.18.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Langkah 3.10.2.3.18.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Langkah 3.10.2.3.18.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{0}{1})$

Langkah 3.10.2.3.18.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$54 - (\frac{81}{2} - 0)$

Langkah 3.10.2.3.19

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$54 - (\frac{81}{2} + 0)$

Langkah 3.10.2.3.20

Tambahkan $\frac{81}{2}$ dan $0$ .

$54 - \frac{81}{2}$

Langkah 3.10.2.3.21

Untuk menuliskan $54$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$54 \cdot \frac{2}{2} - \frac{81}{2}$

Langkah 3.10.2.3.22

Gabungkan $54$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{54 \cdot 2}{2} - \frac{81}{2}$

Langkah 3.10.2.3.23

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{54 \cdot 2 - 81}{2}$

Langkah 3.10.2.3.24

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.2.3.24.1

Kalikan $54$ dengan $2$ .

$\frac{108 - 81}{2}$

Langkah 3.10.2.3.24.2

Kurangi $81$ dengan $108$ .

$\frac{27}{2}$

Langkah 4