Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{27} \sqrt{3 x} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 3 x$ . Kemudian $d u = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 3 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 1.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 1.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Langkah 1.3

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 27$

Langkah 1.5

Kalikan $3$ dengan $27$ .

$u_{upper} = 81$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 81$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{0}^{81} \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Langkah 2

Gabungkan $\sqrt{u}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{81} \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{81} \sqrt{u} d u$

Langkah 4

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int_{0}^{81} u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{81}$

Langkah 6

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Evaluasi $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ pada $81$ dan pada $0$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 81^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis kembali $81$ sebagai $9^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(9^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 9^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 9^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 9^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.4

Naikkan $9$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 729 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.5

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $729$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 729}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.6

Kalikan $2$ dengan $729$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1458}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.7

Hapus faktor persekutuan dari $1458$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.7.1

Faktorkan $3$ dari $1458$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 486}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.7.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 486}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 486}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3} (\frac{486}{1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.7.2.4

Bagilah $486$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.8

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.9

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Langkah 6.2.10

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.10.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Langkah 6.2.10.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Langkah 6.2.11

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot 0)$

Langkah 6.2.12

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{3} (486 + 0 (\frac{2}{3}))$

Langkah 6.2.13

Kalikan $0$ dengan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (486 + 0)$

Langkah 6.2.14

Tambahkan $486$ dan $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 486$

Langkah 6.2.15

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $486$ .

$\frac{486}{3}$

Langkah 6.2.16

Hapus faktor persekutuan dari $486$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.16.1

Faktorkan $3$ dari $486$ .

$\frac{3 \cdot 162}{3}$

Langkah 6.2.16.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.16.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{3 \cdot 162}{3 (1)}$

Langkah 6.2.16.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \cdot 162}{3 \cdot 1}$

Langkah 6.2.16.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{162}{1}$

Langkah 6.2.16.2.4

Bagilah $162$ dengan $1$ .

$162$

Langkah 7