Kalkulus Contoh

$2 x + y^{2} = 8$ , $x = y$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Substitusikan semua kemunculan $x$ dengan $y$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Substitusikan semua kemunculan $x$ dalam $2 x + y^{2} = 8$ dengan $y$ .

$2 (y) + y^{2} = 8$

$x = y$

Langkah 1.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Kalikan $2$ dengan $y$ .

$2 y + y^{2} = 8$

$x = y$

$2 y + y^{2} = 8$

$x = y$

$2 y + y^{2} = 8$

$x = y$

Langkah 1.2

Selesaikan $y$ dalam $2 y + y^{2} = 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Kurangkan $8$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 y + y^{2} - 8 = 0$

$x = y$

Langkah 1.2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Biarkan $u = y$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $y$ .

$2 u + u^{2} - 8 = 0$

$x = y$

Langkah 1.2.2.2

Faktorkan $2 u + u^{2} - 8$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 8$ dan jumlahnya $2$ .

$- 2, 4$

$x = y$

Langkah 1.2.2.2.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(u - 2) (u + 4) = 0$

$x = y$

$(u - 2) (u + 4) = 0$

$x = y$

Langkah 1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$(y - 2) (y + 4) = 0$

$x = y$

$(y - 2) (y + 4) = 0$

$x = y$

Langkah 1.2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$y - 2 = 0$

$y + 4 = 0$

$x = y$

Langkah 1.2.4

Atur $y - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Atur $y - 2$ sama dengan $0$ .

$y - 2 = 0$

$x = y$

Langkah 1.2.4.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$y = 2$

$x = y$

$y = 2$

$x = y$

Langkah 1.2.5

Atur $y + 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Atur $y + 4$ sama dengan $0$ .

$y + 4 = 0$

$x = y$

Langkah 1.2.5.2

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y = - 4$

$x = y$

$y = - 4$

$x = y$

Langkah 1.2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(y - 2) (y + 4) = 0$ benar.

$y = 2, - 4$

$x = y$

$y = 2, - 4$

$x = y$

Langkah 1.3

Substitusikan semua kemunculan $y$ dengan $2$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan semua kemunculan $y$ dalam $x = y$ dengan $2$ .

$x = 2$

$y = 2$

Langkah 1.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

Langkah 1.4

Substitusikan semua kemunculan $y$ dengan $- 4$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Substitusikan semua kemunculan $y$ dalam $x = y$ dengan $- 4$ .

$x = - 4$

$y = - 4$

Langkah 1.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$x = - 4$

$y = - 4$

$x = - 4$

$y = - 4$

$x = - 4$

$y = - 4$

Langkah 1.5

Penyelesaian dari sistem adalah himpunan lengkap dari pasangan terurut yang merupakan penyelesaian valid.

$(2, 2)$

$(- 4, - 4)$

$(2, 2)$

$(- 4, - 4)$

Langkah 2

Selesaikan $2 x + y^{2} = 8$ dalam suku-suku $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kurangkan $y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x = 8 - y^{2}$

Langkah 2.2

Bagi setiap suku pada $2 x = 8 - y^{2}$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 8 - y^{2}$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{8}{2} + \frac{- y^{2}}{2}$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{8}{2} + \frac{- y^{2}}{2}$

Langkah 2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{8}{2} + \frac{- y^{2}}{2}$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1.1

Bagilah $8$ dengan $2$ .

$x = 4 + \frac{- y^{2}}{2}$

Langkah 2.2.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = 4 - \frac{y^{2}}{2}$

Langkah 3

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{- 4}^{2} 4 - \frac{y^{2}}{2} d y - \int_{- 4}^{2} y d y$

Langkah 4

Integralkan untuk menghitung luas antara $- 4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{- 4}^{2} 4 - \frac{y^{2}}{2} - (y) d y$

Langkah 4.2

Kalikan $- 1$ dengan $y$ .

$\int_{- 4}^{2} 4 - \frac{y^{2}}{2} - y d y$

Langkah 4.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{- 4}^{2} 4 d y + \int_{- 4}^{2} - \frac{y^{2}}{2} d y + \int_{- 4}^{2} - y d y$

Langkah 4.4

Terapkan aturan konstanta.

$4 y]_{- 4}^{2} + \int_{- 4}^{2} - \frac{y^{2}}{2} d y + \int_{- 4}^{2} - y d y$

Langkah 4.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$4 y]_{- 4}^{2} - \int_{- 4}^{2} \frac{y^{2}}{2} d y + \int_{- 4}^{2} - y d y$

Langkah 4.6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$4 y]_{- 4}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{- 4}^{2} y^{2} d y) + \int_{- 4}^{2} - y d y$

Langkah 4.7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$4 y]_{- 4}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} + \int_{- 4}^{2} - y d y$

Langkah 4.8

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$4 y]_{- 4}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} - \int_{- 4}^{2} y d y$

Langkah 4.9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$4 y]_{- 4}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} - (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 4}^{2})$

Langkah 4.10

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$4 y]_{- 4}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} - (\frac{y^{2}}{2}]_{- 4}^{2})$

Langkah 4.10.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.2.1

Evaluasi $4 y$ pada $2$ dan pada $- 4$ .

$(4 \cdot 2) - 4 \cdot - 4 - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} - (\frac{y^{2}}{2}]_{- 4}^{2})$

Langkah 4.10.2.2

Evaluasi $\frac{1}{3} y^{3}$ pada $2$ dan pada $- 4$ .

$4 \cdot 2 - 4 \cdot - 4 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - (\frac{y^{2}}{2}]_{- 4}^{2})$

Langkah 4.10.2.3

Evaluasi $\frac{y^{2}}{2}$ pada $2$ dan pada $- 4$ .

$4 \cdot 2 - 4 \cdot - 4 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.2.4.1

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$8 - 4 \cdot - 4 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.4.2

Kalikan $- 4$ dengan $- 4$ .

$8 + 16 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.4.3

Tambahkan $8$ dan $16$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.4.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.4.5

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $8$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.4.6

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $3$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 64) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.4.7

Kalikan $- 64$ dengan $- 1$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{8}{3} + 64 (\frac{1}{3})) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.4.8

Gabungkan $64$ dan $\frac{1}{3}$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{64}{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.4.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{8 + 64}{3} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.4.10

Tambahkan $8$ dan $64$ .

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{72}{3} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.4.11

Hapus faktor persekutuan dari $72$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.2.4.11.1

Faktorkan $3$ dari $72$ .

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.4.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.2.4.11.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3 (1)} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.4.11.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3 \cdot 1} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.4.11.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{24}{1} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.4.11.2.4

Bagilah $24$ dengan $1$ .

$24 - \frac{1}{2} \cdot 24 - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.4.12

Kalikan $24$ dengan $- 1$ .

$24 - 24 (\frac{1}{2}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.4.13

Gabungkan $- 24$ dan $\frac{1}{2}$ .

$24 + \frac{- 24}{2} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.4.14

Hapus faktor persekutuan dari $- 24$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.2.4.14.1

Faktorkan $2$ dari $- 24$ .

$24 + \frac{2 \cdot - 12}{2} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.4.14.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.2.4.14.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$24 + \frac{2 \cdot - 12}{2 (1)} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.4.14.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$24 + \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.4.14.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$24 + \frac{- 12}{1} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.4.14.2.4

Bagilah $- 12$ dengan $1$ .

$24 - 12 - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.4.15

Kurangi $12$ dengan $24$ .

$12 - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.4.16

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$12 - (\frac{4}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.4.17

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.2.4.17.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$12 - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.4.17.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.2.4.17.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$12 - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.4.17.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$12 - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.4.17.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$12 - (\frac{2}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.4.17.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$12 - (2 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.4.18

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $2$ .

$12 - (2 - \frac{16}{2})$

Langkah 4.10.2.4.19

Hapus faktor persekutuan dari $16$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.2.4.19.1

Faktorkan $2$ dari $16$ .

$12 - (2 - \frac{2 \cdot 8}{2})$

Langkah 4.10.2.4.19.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.2.4.19.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$12 - (2 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)})$

Langkah 4.10.2.4.19.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$12 - (2 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1})$

Langkah 4.10.2.4.19.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$12 - (2 - \frac{8}{1})$

Langkah 4.10.2.4.19.2.4

Bagilah $8$ dengan $1$ .

$12 - (2 - 1 \cdot 8)$

Langkah 4.10.2.4.20

Kalikan $- 1$ dengan $8$ .

$12 - (2 - 8)$

Langkah 4.10.2.4.21

Kurangi $8$ dengan $2$ .

$12 - - 6$

Langkah 4.10.2.4.22

Kalikan $- 1$ dengan $- 6$ .

$12 + 6$

Langkah 4.10.2.4.23

Tambahkan $12$ dan $6$ .

$18$

Langkah 5