Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} (x^{2} + 1) e^{- x} d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x^{2} + 1$ dan $d v = e^{- x}$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} (2 x) d x$

Langkah 2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - 2 e^{- x} x d x$

Langkah 3

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} - (- 2 \int_{0}^{1} e^{- x} x d x)$

Langkah 4

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 \int_{0}^{1} e^{- x} x d x$

Langkah 5

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{- x}$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} d x)$

Langkah 6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

Langkah 7.2

Kalikan $\int_{0}^{1} e^{- x} d x$ dengan $1$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

Langkah 8

Biarkan $u = - x$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Biarkan $u = - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Diferensialkan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 8.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 8.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 8.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Langkah 8.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 8.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Langkah 8.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Langkah 8.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

Langkah 8.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 1} - e^{u} d u)$

Langkah 9

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 1} e^{u} d u)$

Langkah 10

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

Langkah 11

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Evaluasi $(x^{2} + 1) (- e^{- x})$ pada $1$ dan pada $0$ .

$((1^{2} + 1) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

Langkah 11.2

Evaluasi $x (- e^{- x})$ pada $1$ dan pada $0$ .

$((1^{2} + 1) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

Langkah 11.3

Evaluasi $e^{u}$ pada $- 1$ dan pada $0$ .

$((1^{2} + 1) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Langkah 11.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$(1 + 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Langkah 11.4.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$2 (- e^{- 1 \cdot 1}) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Langkah 11.4.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$2 (- e^{- 1}) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Langkah 11.4.4

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 e^{- 1} - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Langkah 11.4.5

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- 2 e^{- 1} - (0 + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Langkah 11.4.6

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$- 2 e^{- 1} - 1 \cdot 1 (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Langkah 11.4.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 2 e^{- 1} - 1 (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Langkah 11.4.8

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$- 2 e^{- 1} - 1 (- e^{0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Langkah 11.4.9

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$- 2 e^{- 1} - 1 (- 1 \cdot 1) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Langkah 11.4.10

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 2 e^{- 1} - 1 \cdot - 1 + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Langkah 11.4.11

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Langkah 11.4.12

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (1 (- e^{- 1}) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Langkah 11.4.13

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Langkah 11.4.14

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- e^{0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Langkah 11.4.15

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- 1 \cdot 1) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Langkah 11.4.16

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} + 0 \cdot - 1 - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Langkah 11.4.17

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} + 0 - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Langkah 11.4.18

Tambahkan $- e^{- 1}$ dan $0$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Langkah 11.4.19

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1 \cdot 1))$

Langkah 11.4.20

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{e} + 1 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

Langkah 12.1.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{e}$ .

$\frac{- 2}{e} + 1 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

Langkah 12.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

Langkah 12.1.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (- \frac{1}{e} - (e^{- 1} - 1))$

Langkah 12.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (- \frac{1}{e} - (\frac{1}{e} - 1))$

Langkah 12.1.4.3

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} - - 1)$

Langkah 12.1.4.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} + 1)$

Langkah 12.1.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (1 + \frac{- 1 - 1}{e})$

Langkah 12.1.6

Kurangi $1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (1 + \frac{- 2}{e})$

Langkah 12.1.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (1 - \frac{2}{e})$

Langkah 12.1.8

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 \cdot 1 + 2 (- \frac{2}{e})$

Langkah 12.1.9

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 + 2 (- \frac{2}{e})$

Langkah 12.1.10

Kalikan $2 (- \frac{2}{e})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.10.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 - 2 \frac{2}{e}$

Langkah 12.1.10.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{2}{e}$ .

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 + \frac{- 2 \cdot 2}{e}$

Langkah 12.1.10.3

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 + \frac{- 4}{e}$

Langkah 12.1.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 - \frac{4}{e}$

Langkah 12.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$1 + 2 + \frac{- 2 - 4}{e}$

Langkah 12.3

Kurangi $4$ dengan $- 2$ .

$1 + 2 + \frac{- 6}{e}$

Langkah 12.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$1 + 2 - \frac{6}{e}$

Langkah 12.5

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$3 - \frac{6}{e}$

Langkah 13

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$3 - \frac{6}{e}$

Bentuk Desimal:

$0.79272335 \dots$

Langkah 14