Kalkulus Contoh

$f (x) = 2 x - \frac{5}{x}$ on $5$ , $7$

Langkah 1

Tentukan titik kritisnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - \frac{5}{x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Langkah 1.1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Langkah 1.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Langkah 1.1.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Langkah 1.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{5}{x}$ terhadap $x$ adalah $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Langkah 1.1.1.3.2

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$2 - 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Langkah 1.1.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$2 - 5 (- x^{- 2})$

Langkah 1.1.1.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 5$ .

$2 + 5 x^{- 2}$

Langkah 1.1.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + 5 \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 1.1.1.4.2

Gabungkan $5$ dan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 + \frac{5}{x^{2}}$

Langkah 1.1.1.4.3

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = \frac{5}{x^{2}} + 2$

Langkah 1.1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{5}{x^{2}} + 2$ .

$\frac{5}{x^{2}} + 2$

Langkah 1.2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{5}{x^{2}} + 2 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{5}{x^{2}} + 2 = 0$

Langkah 1.2.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{5}{x^{2}} = - 2$

Langkah 1.2.3

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$x^{2}, 1$

Langkah 1.2.3.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$x^{2}$

Langkah 1.2.4

Kalikan setiap suku pada $\frac{5}{x^{2}} = - 2$ dengan $x^{2}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{5}{x^{2}} = - 2$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{5}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

Langkah 1.2.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

Langkah 1.2.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$5 = - 2 x^{2}$

Langkah 1.2.5

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- 2 x^{2} = 5$ .

$- 2 x^{2} = 5$

Langkah 1.2.5.2

Bagi setiap suku pada $- 2 x^{2} = 5$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.1

Bagilah setiap suku di $- 2 x^{2} = 5$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{5}{- 2}$

Langkah 1.2.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{5}{- 2}$

Langkah 1.2.5.2.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{5}{- 2}$

Langkah 1.2.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x^{2} = - \frac{5}{2}$

Langkah 1.2.5.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{- \frac{5}{2}}$

Langkah 1.2.5.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{- \frac{5}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.4.1

Tulis kembali $- 1$ sebagai $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{5}{2}}$

Langkah 1.2.5.4.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \pm i \sqrt{\frac{5}{2}}$

Langkah 1.2.5.4.3

Tulis kembali $\sqrt{\frac{5}{2}}$ sebagai $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$

Langkah 1.2.5.4.4

Kalikan $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Langkah 1.2.5.4.5

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.4.5.1

Kalikan $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Langkah 1.2.5.4.5.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Langkah 1.2.5.4.5.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Langkah 1.2.5.4.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Langkah 1.2.5.4.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Langkah 1.2.5.4.5.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.4.5.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 1.2.5.4.5.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 1.2.5.4.5.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 1.2.5.4.5.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.4.5.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 1.2.5.4.5.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Langkah 1.2.5.4.5.6.5

Evaluasi eksponennya.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2}$

Langkah 1.2.5.4.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.4.6.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5 \cdot 2}}{2}$

Langkah 1.2.5.4.6.2

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{10}}{2}$

Langkah 1.2.5.4.7

Gabungkan $i$ dan $\frac{\sqrt{10}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{10}}{2}$

Langkah 1.2.5.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{2}$

Langkah 1.2.5.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \frac{i \sqrt{10}}{2}$

Langkah 1.2.5.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{2}, - \frac{i \sqrt{10}}{2}$

Langkah 1.3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Atur penyebut dalam $\frac{5}{x^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{2} = 0$

Langkah 1.3.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{0}$

Langkah 1.3.2.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 1.3.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 1.3.2.2.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 1.4

Evaluasi $2 x - \frac{5}{x}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$2 (0) - \frac{5}{0}$

Langkah 1.4.1.2

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 1.5

Tidak ada nilai dari $x$ di domain soal awal yang nilai-turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Tidak ditemukan titik kritis

Langkah 2

Periksa pada titik interval.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi pada $x = 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Substitusikan $5$ untuk $x$ .

$2 (5) - \frac{5}{5}$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$10 - \frac{5}{5}$

Langkah 2.1.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$10 - \frac{5}{5}$

Langkah 2.1.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$10 - 1 \cdot 1$

Langkah 2.1.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$10 - 1$

Langkah 2.1.2.2

Kurangi $1$ dengan $10$ .

$9$

Langkah 2.2

Evaluasi pada $x = 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Substitusikan $7$ untuk $x$ .

$2 (7) - \frac{5}{7}$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Kalikan $2$ dengan $7$ .

$14 - \frac{5}{7}$

Langkah 2.2.2.2

Untuk menuliskan $14$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{7}{7}$ .

$14 \cdot \frac{7}{7} - \frac{5}{7}$

Langkah 2.2.2.3

Gabungkan $14$ dan $\frac{7}{7}$ .

$\frac{14 \cdot 7}{7} - \frac{5}{7}$

Langkah 2.2.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{14 \cdot 7 - 5}{7}$

Langkah 2.2.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.5.1

Kalikan $14$ dengan $7$ .

$\frac{98 - 5}{7}$

Langkah 2.2.2.5.2

Kurangi $5$ dengan $98$ .

$\frac{93}{7}$

Langkah 2.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(5, 9), (7, \frac{93}{7})$

Langkah 3

Bandingkan nilai $f (x)$ yang ditemukan untuk setiap nilai $x$ untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ terendah.

Maksimum Mutlak: $(7, \frac{93}{7})$

Minimum Mutlak: $(5, 9)$

Langkah 4