Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 3}$ , $- 1 \leq x \leq 2$

Langkah 1

Tentukan titik kritisnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x + 1$ dan $g (x) = x^{2} + 3$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.4.2

Kalikan $x^{2} + 3$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.7

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.8.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.8.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x + 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} + 3 + (- 2 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.3.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.3.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.3.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.3.2

Kurangi $2 x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 3 - 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- x^{2} - 2 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.5

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.5.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.5.1.1

Faktorkan $- 2$ dari $- 2 x$ .

$\frac{- x^{2} - 2 (x) + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.5.1.2

Tulis kembali $- 2$ sebagai $1$ ditambah $- 3$

$\frac{- x^{2} + (1 - 3) x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.5.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{- x^{2} + 1 x - 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.5.1.4

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{- x^{2} + x - 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.5.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.5.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$\frac{(- x^{2} + x) - 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.5.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$\frac{x (- x + 1) + 3 (- x + 1)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.5.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $- x + 1$ .

$\frac{(- x + 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.6

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$\frac{(- (x) + 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.7

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 1)) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.8

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.9

Tulis kembali $- (x - 1)$ sebagai $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = - \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

Langkah 1.2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$(x - 1) (x + 3) = 0$

Langkah 1.2.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Langkah 1.2.3.2

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 1.2.3.2.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 1.2.3.3

Atur $x + 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.1

Atur $x + 3$ sama dengan $0$ .

$x + 3 = 0$

Langkah 1.2.3.3.2

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 3$

Langkah 1.2.3.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x - 1) (x + 3) = 0$ benar.

$x = 1, - 3$

Langkah 1.3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{x + 1}{x^{2} + 3}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Evaluasi pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Substitusikan $1$ untuk $x$ .

$\frac{(1) + 1}{{(1)}^{2} + 3}$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{2}{1^{2} + 3}$

Langkah 1.4.1.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{2}{1 + 3}$

Langkah 1.4.1.2.2.2

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$\frac{2}{4}$

Langkah 1.4.1.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Langkah 1.4.1.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.4.1.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.4.1.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2}$

Langkah 1.4.2

Evaluasi pada $x = - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Substitusikan $- 3$ untuk $x$ .

$\frac{(- 3) + 1}{{(- 3)}^{2} + 3}$

Langkah 1.4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1

Tambahkan $- 3$ dan $1$ .

$\frac{- 2}{{(- 3)}^{2} + 3}$

Langkah 1.4.2.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.2.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{- 2}{9 + 3}$

Langkah 1.4.2.2.2.2

Tambahkan $9$ dan $3$ .

$\frac{- 2}{12}$

Langkah 1.4.2.2.3

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{12}$

Langkah 1.4.2.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $12$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6}$

Langkah 1.4.2.2.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6}$

Langkah 1.4.2.2.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1}{6}$

Langkah 1.4.2.2.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{6}$

Langkah 1.4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(1, \frac{1}{2}), (- 3, - \frac{1}{6})$

Langkah 2

Keluarkan titik-titik yang tidak termasuk dalam interval.

$(1, \frac{1}{2})$

Langkah 3

Periksa pada titik interval.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi pada $x = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Substitusikan $- 1$ untuk $x$ .

$\frac{(- 1) + 1}{{(- 1)}^{2} + 3}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} + 3}$

Langkah 3.1.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.2.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{0}{1 + 3}$

Langkah 3.1.2.2.2

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$\frac{0}{4}$

Langkah 3.1.2.3

Bagilah $0$ dengan $4$ .

$0$

Langkah 3.2

Evaluasi pada $x = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Substitusikan $2$ untuk $x$ .

$\frac{(2) + 1}{{(2)}^{2} + 3}$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{3}{2^{2} + 3}$

Langkah 3.2.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{3}{4 + 3}$

Langkah 3.2.2.2.2

Tambahkan $4$ dan $3$ .

$\frac{3}{7}$

Langkah 3.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(- 1, 0), (2, \frac{3}{7})$

Langkah 4

Bandingkan nilai $f (x)$ yang ditemukan untuk setiap nilai $x$ untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ terendah.

Maksimum Mutlak: $(1, \frac{1}{2})$

Minimum Mutlak: $(- 1, 0)$

Langkah 5