Kalkulus Contoh

$f (x) = 2 x^{3} - 27 x^{2} + 108 x$ on $2$ , $7$

Langkah 1

Tentukan titik kritisnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{3} - 27 x^{2} + 108 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$

Langkah 1.1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$

Langkah 1.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$

Langkah 1.1.1.2.3

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$

Langkah 1.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 27 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Karena $- 27$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 27 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 27 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 27 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$

Langkah 1.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$6 x^{2} - 27 (2 x) + \frac{d}{d x} [108 x]$

Langkah 1.1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 27$ .

$6 x^{2} - 54 x + \frac{d}{d x} [108 x]$

Langkah 1.1.1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [108 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.4.1

Karena $108$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $108 x$ terhadap $x$ adalah $108 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 54 x + 108 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$6 x^{2} - 54 x + 108 \cdot 1$

Langkah 1.1.1.4.3

Kalikan $108$ dengan $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 54 x + 108$

Langkah 1.1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $6 x^{2} - 54 x + 108$ .

$6 x^{2} - 54 x + 108$

Langkah 1.2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $6 x^{2} - 54 x + 108 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$6 x^{2} - 54 x + 108 = 0$

Langkah 1.2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Faktorkan $6$ dari $6 x^{2} - 54 x + 108$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1.1

Faktorkan $6$ dari $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) - 54 x + 108 = 0$

Langkah 1.2.2.1.2

Faktorkan $6$ dari $- 54 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- 9 x) + 108 = 0$

Langkah 1.2.2.1.3

Faktorkan $6$ dari $108$ .

$6 x^{2} + 6 (- 9 x) + 6 \cdot 18 = 0$

Langkah 1.2.2.1.4

Faktorkan $6$ dari $6 x^{2} + 6 (- 9 x)$ .

$6 (x^{2} - 9 x) + 6 \cdot 18 = 0$

Langkah 1.2.2.1.5

Faktorkan $6$ dari $6 (x^{2} - 9 x) + 6 \cdot 18$ .

$6 (x^{2} - 9 x + 18) = 0$

Langkah 1.2.2.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1

Faktorkan $x^{2} - 9 x + 18$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $18$ dan jumlahnya $- 9$ .

$- 6, - 3$

Langkah 1.2.2.2.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$6 ((x - 6) (x - 3)) = 0$

Langkah 1.2.2.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$6 (x - 6) (x - 3) = 0$

Langkah 1.2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 3 = 0$

Langkah 1.2.4

Atur $x - 6$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Atur $x - 6$ sama dengan $0$ .

$x - 6 = 0$

Langkah 1.2.4.2

Tambahkan $6$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 6$

Langkah 1.2.5

Atur $x - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Atur $x - 3$ sama dengan $0$ .

$x - 3 = 0$

Langkah 1.2.5.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 3$

Langkah 1.2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $6 (x - 6) (x - 3) = 0$ benar.

$x = 6, 3$

Langkah 1.3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 1.4

Evaluasi $2 x^{3} - 27 x^{2} + 108 x$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Evaluasi pada $x = 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Substitusikan $6$ untuk $x$ .

$2 {(6)}^{3} - 27 {(6)}^{2} + 108 (6)$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1.1

Naikkan $6$ menjadi pangkat $3$ .

$2 \cdot 216 - 27 {(6)}^{2} + 108 (6)$

Langkah 1.4.1.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $216$ .

$432 - 27 {(6)}^{2} + 108 (6)$

Langkah 1.4.1.2.1.3

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$432 - 27 \cdot 36 + 108 (6)$

Langkah 1.4.1.2.1.4

Kalikan $- 27$ dengan $36$ .

$432 - 972 + 108 (6)$

Langkah 1.4.1.2.1.5

Kalikan $108$ dengan $6$ .

$432 - 972 + 648$

Langkah 1.4.1.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.2.1

Kurangi $972$ dengan $432$ .

$- 540 + 648$

Langkah 1.4.1.2.2.2

Tambahkan $- 540$ dan $648$ .

$108$

Langkah 1.4.2

Evaluasi pada $x = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Substitusikan $3$ untuk $x$ .

$2 {(3)}^{3} - 27 {(3)}^{2} + 108 (3)$

Langkah 1.4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$2 \cdot 27 - 27 {(3)}^{2} + 108 (3)$

Langkah 1.4.2.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $27$ .

$54 - 27 {(3)}^{2} + 108 (3)$

Langkah 1.4.2.2.1.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$54 - 27 \cdot 9 + 108 (3)$

Langkah 1.4.2.2.1.4

Kalikan $- 27$ dengan $9$ .

$54 - 243 + 108 (3)$

Langkah 1.4.2.2.1.5

Kalikan $108$ dengan $3$ .

$54 - 243 + 324$

Langkah 1.4.2.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.2.1

Kurangi $243$ dengan $54$ .

$- 189 + 324$

Langkah 1.4.2.2.2.2

Tambahkan $- 189$ dan $324$ .

$135$

Langkah 1.4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(6, 108), (3, 135)$

Langkah 2

Periksa pada titik interval.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi pada $x = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Substitusikan $2$ untuk $x$ .

$2 {(2)}^{3} - 27 {(2)}^{2} + 108 (2)$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Kalikan $2$ dengan ${(2)}^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1.1

Kalikan $2$ dengan ${(2)}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $1$ .

$2^{1} {(2)}^{3} - 27 {(2)}^{2} + 108 (2)$

Langkah 2.1.2.1.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2^{1 + 3} - 27 {(2)}^{2} + 108 (2)$

Langkah 2.1.2.1.1.2

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$2^{4} - 27 {(2)}^{2} + 108 (2)$

Langkah 2.1.2.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$16 - 27 {(2)}^{2} + 108 (2)$

Langkah 2.1.2.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$16 - 27 \cdot 4 + 108 (2)$

Langkah 2.1.2.1.4

Kalikan $- 27$ dengan $4$ .

$16 - 108 + 108 (2)$

Langkah 2.1.2.1.5

Kalikan $108$ dengan $2$ .

$16 - 108 + 216$

Langkah 2.1.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Kurangi $108$ dengan $16$ .

$- 92 + 216$

Langkah 2.1.2.2.2

Tambahkan $- 92$ dan $216$ .

$124$

Langkah 2.2

Evaluasi pada $x = 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Substitusikan $7$ untuk $x$ .

$2 {(7)}^{3} - 27 {(7)}^{2} + 108 (7)$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Naikkan $7$ menjadi pangkat $3$ .

$2 \cdot 343 - 27 {(7)}^{2} + 108 (7)$

Langkah 2.2.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $343$ .

$686 - 27 {(7)}^{2} + 108 (7)$

Langkah 2.2.2.1.3

Naikkan $7$ menjadi pangkat $2$ .

$686 - 27 \cdot 49 + 108 (7)$

Langkah 2.2.2.1.4

Kalikan $- 27$ dengan $49$ .

$686 - 1323 + 108 (7)$

Langkah 2.2.2.1.5

Kalikan $108$ dengan $7$ .

$686 - 1323 + 756$

Langkah 2.2.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Kurangi $1323$ dengan $686$ .

$- 637 + 756$

Langkah 2.2.2.2.2

Tambahkan $- 637$ dan $756$ .

$119$

Langkah 2.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(2, 124), (7, 119)$

Langkah 3

Bandingkan nilai $f (x)$ yang ditemukan untuk setiap nilai $x$ untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ terendah.

Maksimum Mutlak: $(3, 135)$

Minimum Mutlak: $(6, 108)$

Langkah 4