Kalkulus Contoh

$f (x) = 2 \sqrt[3]{x - 1} + 3$ ; $[- 7, 9]$

Langkah 1

Tentukan titik kritisnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 \sqrt[3]{x - 1} + 3$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 \sqrt[3]{x - 1}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 \sqrt[3]{x - 1}) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 1.1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 \sqrt[3]{x - 1}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x - 1}$ sebagai ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 1.1.1.2.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 1.1.1.2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ dan $g (x) = x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 1)) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 1.1.1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1)) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 1.1.1.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1)) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 1.1.1.2.4

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)))) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 1.1.1.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} (- 1)))) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 1.1.1.2.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 1.1.1.2.7

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 1.1.1.2.8

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 1.1.1.2.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 1.1.1.2.10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.10.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 1.1.1.2.10.2

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 1.1.1.2.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 1.1.1.2.12

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 1.1.1.2.13

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 1.1.1.2.14

Kalikan $\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ dengan $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 1.1.1.2.15

Pindahkan ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 1.1.1.2.16

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 1.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

Langkah 1.1.1.3.2

Tambahkan $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ dan $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 1.1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 1.2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Langkah 1.2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$2 = 0$

Langkah 1.2.3

Karena $2 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 1.3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}}$

Langkah 1.3.2

Atur penyebut dalam $\frac{2}{3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} = 0$

Langkah 1.3.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Untuk menghilangkan akar pada sisi kiri persamaan, pangkatkan tiga kedua sisi persamaan.

${(3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 1.3.3.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}$ sebagai ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 1.3.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.2.2.1

Sederhanakan ${(3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.2.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 1.3.3.2.2.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$27 {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 1.3.3.2.2.1.3

Kalikan eksponen dalam ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.2.2.1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Langkah 1.3.3.2.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.2.2.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$27 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Langkah 1.3.3.2.2.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$27 {(x - 1)}^{2} = 0^{3}$

Langkah 1.3.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$27 {(x - 1)}^{2} = 0$

Langkah 1.3.3.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.3.1

Bagi setiap suku pada $27 {(x - 1)}^{2} = 0$ dengan $27$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.3.1.1

Bagilah setiap suku di $27 {(x - 1)}^{2} = 0$ dengan $27$ .

$\frac{27 {(x - 1)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Langkah 1.3.3.3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $27$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.3.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{27 {(x - 1)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Langkah 1.3.3.3.1.2.1.2

Bagilah ${(x - 1)}^{2}$ dengan $1$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{27}$

Langkah 1.3.3.3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.3.1.3.1

Bagilah $0$ dengan $27$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Langkah 1.3.3.3.2

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 1.3.3.3.3

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 1.4

Evaluasi $2 \sqrt[3]{x - 1} + 3$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Evaluasi pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Substitusikan $1$ untuk $x$ .

$2 \sqrt[3]{(1) - 1} + 3$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$2 \sqrt[3]{0} + 3$

Langkah 1.4.1.2.1.2

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$2 \sqrt[3]{0^{3}} + 3$

Langkah 1.4.1.2.1.3

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$2 \cdot 0 + 3$

Langkah 1.4.1.2.1.4

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$0 + 3$

Langkah 1.4.1.2.2

Tambahkan $0$ dan $3$ .

$3$

Langkah 1.4.2

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(1, 3)$

Langkah 2

Periksa pada titik interval.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi pada $x = - 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Substitusikan $- 7$ untuk $x$ .

$2 \sqrt[3]{(- 7) - 1} + 3$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Kurangi $1$ dengan $- 7$ .

$2 \sqrt[3]{- 8} + 3$

Langkah 2.1.2.1.2

Tulis kembali $- 8$ sebagai ${(- 2)}^{3}$ .

$2 \sqrt[3]{{(- 2)}^{3}} + 3$

Langkah 2.1.2.1.3

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$2 \cdot - 2 + 3$

Langkah 2.1.2.1.4

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$- 4 + 3$

Langkah 2.1.2.2

Tambahkan $- 4$ dan $3$ .

$- 1$

Langkah 2.2

Evaluasi pada $x = 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Substitusikan $9$ untuk $x$ .

$2 \sqrt[3]{(9) - 1} + 3$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Kurangi $1$ dengan $9$ .

$2 \sqrt[3]{8} + 3$

Langkah 2.2.2.1.2

Tulis kembali $8$ sebagai $2^{3}$ .

$2 \sqrt[3]{2^{3}} + 3$

Langkah 2.2.2.1.3

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$2 \cdot 2 + 3$

Langkah 2.2.2.1.4

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 + 3$

Langkah 2.2.2.2

Tambahkan $4$ dan $3$ .

$7$

Langkah 2.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(- 7, - 1), (9, 7)$

Langkah 3

Bandingkan nilai $f (x)$ yang ditemukan untuk setiap nilai $x$ untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ terendah.

Maksimum Mutlak: $(9, 7)$

Minimum Mutlak: $(- 7, - 1)$

Langkah 4