Kalkulus Contoh

Tentukan Maks dan Min Mutlak di sepanjang Interval f(x)=x^4-8x^2
Langkah 1
Tentukan turunan pertama dari fungsi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.1
Diferensialkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.1.1
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap adalah .
Langkah 1.1.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 1.2
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.2.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 1.2.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 1.2.3
Kalikan dengan .
Langkah 2
Tentukan turunan kedua dari fungsi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.1
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.2
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.2.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.2.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.2.3
Kalikan dengan .
Langkah 2.3
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.3.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.3.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.3.3
Kalikan dengan .
Langkah 3
Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan , lalu selesaikan.
Langkah 4
Tentukan turunan pertamanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1
Tentukan turunan pertamanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.1
Diferensialkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.1.1
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap adalah .
Langkah 4.1.1.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 4.1.2
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.2.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 4.1.2.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 4.1.2.3
Kalikan dengan .
Langkah 4.2
Turunan pertama dari terhadap adalah .
Langkah 5
Buat turunan pertamanya agar sama dengan dan selesaikan persamaan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.1
Buat turunan pertamanya agar sama dengan .
Langkah 5.2
Faktorkan sisi kiri persamaannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.2.1
Faktorkan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.2.1.1
Faktorkan dari .
Langkah 5.2.1.2
Faktorkan dari .
Langkah 5.2.1.3
Faktorkan dari .
Langkah 5.2.2
Tulis kembali sebagai .
Langkah 5.2.3
Faktorkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.2.3.1
Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, di mana dan .
Langkah 5.2.3.2
Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.
Langkah 5.3
Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan .
Langkah 5.4
Atur sama dengan .
Langkah 5.5
Atur agar sama dengan dan selesaikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.5.1
Atur sama dengan .
Langkah 5.5.2
Kurangkan dari kedua sisi persamaan tersebut.
Langkah 5.6
Atur agar sama dengan dan selesaikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.6.1
Atur sama dengan .
Langkah 5.6.2
Tambahkan ke kedua sisi persamaan.
Langkah 5.7
Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat benar.
Langkah 6
Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.1
Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.
Langkah 7
Titik kritis untuk dievaluasi.
Langkah 8
Evaluasi turunan kedua pada . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.
Langkah 9
Evaluasi turunan keduanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.1.1
Menaikkan ke sebarang pangkat positif menghasilkan .
Langkah 9.1.2
Kalikan dengan .
Langkah 9.2
Kurangi dengan .
Langkah 10
adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.
adalah maksimum lokal
Langkah 11
Tentukan nilai y ketika .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 11.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 11.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 11.2.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 11.2.1.1
Menaikkan ke sebarang pangkat positif menghasilkan .
Langkah 11.2.1.2
Menaikkan ke sebarang pangkat positif menghasilkan .
Langkah 11.2.1.3
Kalikan dengan .
Langkah 11.2.2
Tambahkan dan .
Langkah 11.2.3
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 12
Evaluasi turunan kedua pada . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.
Langkah 13
Evaluasi turunan keduanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 13.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 13.1.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 13.1.2
Kalikan dengan .
Langkah 13.2
Kurangi dengan .
Langkah 14
adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.
adalah minimum lokal
Langkah 15
Tentukan nilai y ketika .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 15.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 15.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 15.2.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 15.2.1.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 15.2.1.2
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 15.2.1.3
Kalikan dengan .
Langkah 15.2.2
Kurangi dengan .
Langkah 15.2.3
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 16
Evaluasi turunan kedua pada . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.
Langkah 17
Evaluasi turunan keduanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 17.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 17.1.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 17.1.2
Kalikan dengan .
Langkah 17.2
Kurangi dengan .
Langkah 18
adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.
adalah minimum lokal
Langkah 19
Tentukan nilai y ketika .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 19.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 19.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 19.2.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 19.2.1.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 19.2.1.2
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 19.2.1.3
Kalikan dengan .
Langkah 19.2.2
Kurangi dengan .
Langkah 19.2.3
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 20
Ini adalah ekstrem lokal untuk .
adalah maksimum lokal
adalah minimum lokal
adalah minimum lokal
Langkah 21