Kalkulus Contoh

$\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}$ , $[- 2, 1]$

Langkah 1

Tentukan titik kritisnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Langkah 1.1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Langkah 1.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Langkah 1.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{2}{x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$- x^{- 2} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Langkah 1.1.1.3.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{2}}$ sebagai ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- x^{- 2} - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Langkah 1.1.1.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2}$ .

$- x^{- 2} - 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 1.1.1.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$- x^{- 2} - 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 1.1.1.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$- x^{- 2} - 2 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 1.1.1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- x^{- 2} - 2 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Langkah 1.1.1.3.5

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{- 2} - 2 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Langkah 1.1.1.3.5.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$- x^{- 2} - 2 (- x^{- 4} (2 x))$

Langkah 1.1.1.3.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- x^{- 2} - 2 (- 2 x^{- 4} x)$

Langkah 1.1.1.3.7

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$- x^{- 2} - 2 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Langkah 1.1.1.3.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- x^{- 2} - 2 (- 2 x^{1 - 4})$

Langkah 1.1.1.3.9

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$- x^{- 2} - 2 (- 2 x^{- 3})$

Langkah 1.1.1.3.10

Kalikan $- 2$ dengan $- 2$ .

$- x^{- 2} + 4 x^{- 3}$

Langkah 1.1.1.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 4 x^{- 3}$

Langkah 1.1.1.5

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 4 \frac{1}{x^{3}}$

Langkah 1.1.1.6

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$

Langkah 1.1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$

Langkah 1.2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} = 0$

Langkah 1.2.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$x^{2}, x^{3}, 1$

Langkah 1.2.2.2

Karena $x^{2}, x^{3}, 1$ memiliki bilangan dan variabel, ada dua langkah untuk menemukan KPK. Temukan KPK untuk bagian numerik $1, 1, 1$ kemudian temukan KPK untuk bagian variabel $x^{2}, x^{3}$ .

Langkah 1.2.2.3

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

1. Sebutkan faktor prima dari masing-masing bilangan.

2. Kalikan masing-masing faktor dengan jumlah terbesar dari kedua bilangan tersebut.

Langkah 1.2.2.4

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 1.2.2.5

KPK dari $1, 1, 1$ adalah hasil perkalian semua faktor prima yang paling banyak muncul pada kedua bilangan tersebut.

$1$

Langkah 1.2.2.6

Faktor-faktor untuk $x^{2}$ adalah $x \cdot x$ , yaitu $x$ dikalikan satu sama lain $2$ kali.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ terjadi $2$ kali.

Langkah 1.2.2.7

Faktor-faktor untuk $x^{3}$ adalah $x \cdot x \cdot x$ , yaitu $x$ dikalikan satu sama lain $3$ kali.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ terjadi $3$ kali.

Langkah 1.2.2.8

KPK dari $x^{2}, x^{3}$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor prima dengan frekuensi terbanyak yang muncul pada kedua pernyataan tersebut.

$x \cdot x \cdot x$

Langkah 1.2.2.9

Sederhanakan $x \cdot x \cdot x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.9.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$x^{2} \cdot x$

Langkah 1.2.2.9.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.9.2.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.9.2.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1}$

Langkah 1.2.2.9.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x^{2 + 1}$

Langkah 1.2.2.9.2.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$x^{3}$

Langkah 1.2.3

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} = 0$ dengan $x^{3}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} = 0$ dengan $x^{3}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{3} + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{x^{2}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{3} + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Langkah 1.2.3.2.1.1.2

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{3}$ .

$\frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x) + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Langkah 1.2.3.2.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x) + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Langkah 1.2.3.2.1.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- x + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Langkah 1.2.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- x + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Langkah 1.2.3.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- x + 4 = 0 x^{3}$

Langkah 1.2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.1

Kalikan $0$ dengan $x^{3}$ .

$- x + 4 = 0$

Langkah 1.2.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x = - 4$

Langkah 1.2.4.2

Bagi setiap suku pada $- x = - 4$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Bagilah setiap suku di $- x = - 4$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 1.2.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 1.2.4.2.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 1.2.4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.3.1

Bagilah $- 4$ dengan $- 1$ .

$x = 4$

Langkah 1.3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Atur penyebut dalam $\frac{1}{x^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{2} = 0$

Langkah 1.3.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{0}$

Langkah 1.3.2.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 1.3.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 1.3.2.2.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 1.3.3

Atur penyebut dalam $\frac{4}{x^{3}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{3} = 0$

Langkah 1.3.4

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \sqrt[3]{0}$

Langkah 1.3.4.2

Sederhanakan $\sqrt[3]{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Langkah 1.3.4.2.2

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$x = 0$

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Evaluasi pada $x = 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Substitusikan $4$ untuk $x$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{{(4)}^{2}}$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{16}$

Langkah 1.4.1.2.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2 (1)}{16}$

Langkah 1.4.1.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $16$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}$

Langkah 1.4.1.2.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{4} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}$

Langkah 1.4.1.2.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

Langkah 1.4.1.2.2

Untuk menuliskan $\frac{1}{4}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{8}$

Langkah 1.4.1.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $8$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.3.1

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8}$

Langkah 1.4.1.2.3.2

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$\frac{2}{8} - \frac{1}{8}$

Langkah 1.4.1.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 - 1}{8}$

Langkah 1.4.1.2.5

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{8}$

Langkah 1.4.2

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$\frac{1}{0} - \frac{2}{{(0)}^{2}}$

Langkah 1.4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{1}{0} - \frac{2}{0}$

Langkah 1.4.2.2.2

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 1.4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(4, \frac{1}{8})$

Langkah 2

Keluarkan titik-titik yang tidak termasuk dalam interval.

Langkah 3

Periksa pada titik interval.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi pada $x = - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Substitusikan $- 2$ untuk $x$ .

$\frac{1}{- 2} - \frac{2}{{(- 2)}^{2}}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{2} - \frac{2}{{(- 2)}^{2}}$

Langkah 3.1.2.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan ${(- 2)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.2.1

Tulis kembali $2$ sebagai $- 1 (- 2)$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{- 1 (- 2)}{{(- 2)}^{2}}$

Langkah 3.1.2.1.2.2

Faktorkan $- 2$ dari $- 1 (- 2)$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{- 2 \cdot - 1}{{(- 2)}^{2}}$

Langkah 3.1.2.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.2.3.1

Faktorkan $- 2$ dari ${(- 2)}^{2}$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 \cdot - 2}$

Langkah 3.1.2.1.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{1}{2} - \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 \cdot - 2}$

Langkah 3.1.2.1.2.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{2} - \frac{- 1}{- 2}$

Langkah 3.1.2.1.3

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

Langkah 3.1.2.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 1 - 1}{2}$

Langkah 3.1.2.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.2.2.1

Kurangi $1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 2}{2}$

Langkah 3.1.2.2.2.2

Bagilah $- 2$ dengan $2$ .

$- 1$

Langkah 3.2

Evaluasi pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Substitusikan $1$ untuk $x$ .

$\frac{1}{1} - \frac{2}{{(1)}^{2}}$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Bagilah $1$ dengan $1$ .

$1 - \frac{2}{{(1)}^{2}}$

Langkah 3.2.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 - \frac{2}{1}$

Langkah 3.2.2.1.3

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$1 - 1 \cdot 2$

Langkah 3.2.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$1 - 2$

Langkah 3.2.2.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 3.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(- 2, - 1), (1, - 1)$

Langkah 4

Bandingkan nilai $f (x)$ yang ditemukan untuk setiap nilai $x$ untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ terendah.

Maksimum Mutlak: $(- 2, - 1), (1, - 1)$

Minimum Mutlak: $(- 2, - 1), (1, - 1)$

Langkah 5