Kalkulus Contoh

Tentukan Maks dan Min Mutlak di sepanjang Interval f(x)=( log alami dari x)/(x^2)
Langkah 1
Tentukan turunan pertama dari fungsi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.1
Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Langkah 1.2
Kalikan eksponen dalam .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.2.1
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, .
Langkah 1.2.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.3
Turunan dari terhadap adalah .
Langkah 1.4
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1
Gabungkan dan .
Langkah 1.4.2
Hapus faktor persekutuan dari dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.2.1
Faktorkan dari .
Langkah 1.4.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.2.2.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 1.4.2.2.2
Faktorkan dari .
Langkah 1.4.2.2.3
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 1.4.2.2.4
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 1.4.2.2.5
Bagilah dengan .
Langkah 1.4.3
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 1.4.4
Sederhanakan dengan memfaktorkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.4.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.4.2
Faktorkan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.4.2.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 1.4.4.2.2
Faktorkan dari .
Langkah 1.4.4.2.3
Faktorkan dari .
Langkah 1.4.4.2.4
Faktorkan dari .
Langkah 1.5
Batalkan faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.1
Faktorkan dari .
Langkah 1.5.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 1.5.3
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 1.6
Sederhanakan dengan memindahkan ke dalam logaritma.
Langkah 2
Tentukan turunan kedua dari fungsi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.1
Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Langkah 2.2
Diferensialkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.2.1
Kalikan eksponen dalam .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.2.1.1
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, .
Langkah 2.2.1.2
Kalikan dengan .
Langkah 2.2.2
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.2.3
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.2.4
Tambahkan dan .
Langkah 2.2.5
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.3
Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.3.1
Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur sebagai .
Langkah 2.3.2
Turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.3.3
Ganti semua kemunculan dengan .
Langkah 2.4
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.4.1
Gabungkan dan .
Langkah 2.4.2
Hapus faktor persekutuan dari dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.4.2.1
Faktorkan dari .
Langkah 2.4.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.4.2.2.1
Kalikan dengan .
Langkah 2.4.2.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 2.4.2.2.3
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 2.4.2.2.4
Bagilah dengan .
Langkah 2.4.3
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.4.4
Kalikan dengan .
Langkah 2.5
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 2.6
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 2.7
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 2.8
Tambahkan dan .
Langkah 2.9
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.10
Sederhanakan dengan memfaktorkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.10.1
Kalikan dengan .
Langkah 2.10.2
Faktorkan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.10.2.1
Faktorkan dari .
Langkah 2.10.2.2
Faktorkan dari .
Langkah 2.10.2.3
Faktorkan dari .
Langkah 2.11
Batalkan faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.11.1
Faktorkan dari .
Langkah 2.11.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 2.11.3
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 2.12
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.12.1
Terapkan sifat distributif.
Langkah 2.12.2
Sederhanakan pembilangnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.12.2.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.12.2.1.1
Kalikan dengan .
Langkah 2.12.2.1.2
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.12.2.1.2.1
Kalikan dengan .
Langkah 2.12.2.1.2.2
Sederhanakan dengan memindahkan ke dalam logaritma.
Langkah 2.12.2.1.3
Kalikan eksponen dalam .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.12.2.1.3.1
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, .
Langkah 2.12.2.1.3.2
Kalikan dengan .
Langkah 2.12.2.2
Kurangi dengan .
Langkah 2.12.3
Tulis kembali sebagai .
Langkah 2.12.4
Faktorkan dari .
Langkah 2.12.5
Faktorkan dari .
Langkah 2.12.6
Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.
Langkah 3
Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan , lalu selesaikan.
Langkah 4
Tentukan turunan pertamanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1
Tentukan turunan pertamanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.1
Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Langkah 4.1.2
Kalikan eksponen dalam .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.2.1
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, .
Langkah 4.1.2.2
Kalikan dengan .
Langkah 4.1.3
Turunan dari terhadap adalah .
Langkah 4.1.4
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.4.1
Gabungkan dan .
Langkah 4.1.4.2
Hapus faktor persekutuan dari dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.4.2.1
Faktorkan dari .
Langkah 4.1.4.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.4.2.2.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 4.1.4.2.2.2
Faktorkan dari .
Langkah 4.1.4.2.2.3
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 4.1.4.2.2.4
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 4.1.4.2.2.5
Bagilah dengan .
Langkah 4.1.4.3
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 4.1.4.4
Sederhanakan dengan memfaktorkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.4.4.1
Kalikan dengan .
Langkah 4.1.4.4.2
Faktorkan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.4.4.2.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 4.1.4.4.2.2
Faktorkan dari .
Langkah 4.1.4.4.2.3
Faktorkan dari .
Langkah 4.1.4.4.2.4
Faktorkan dari .
Langkah 4.1.5
Batalkan faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.5.1
Faktorkan dari .
Langkah 4.1.5.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 4.1.5.3
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 4.1.6
Sederhanakan dengan memindahkan ke dalam logaritma.
Langkah 4.2
Turunan pertama dari terhadap adalah .
Langkah 5
Buat turunan pertamanya agar sama dengan dan selesaikan persamaan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.1
Buat turunan pertamanya agar sama dengan .
Langkah 5.2
Atur agar pembilangnya sama dengan nol.
Langkah 5.3
Selesaikan persamaan untuk .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.3.1
Kurangkan dari kedua sisi persamaan tersebut.
Langkah 5.3.2
Bagi setiap suku pada dengan dan sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.3.2.1
Bagilah setiap suku di dengan .
Langkah 5.3.2.2
Sederhanakan sisi kirinya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.3.2.2.1
Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.
Langkah 5.3.2.2.2
Bagilah dengan .
Langkah 5.3.2.3
Sederhanakan sisi kanannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.3.2.3.1
Bagilah dengan .
Langkah 5.3.3
Untuk menyelesaikan , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.
Langkah 5.3.4
Tulis kembali dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika dan adalah bilangan riil positif dan , maka setara dengan .
Langkah 5.3.5
Selesaikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.3.5.1
Tulis kembali persamaan tersebut sebagai .
Langkah 5.3.5.2
Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.
Langkah 5.3.5.3
Sederhanakan.
Langkah 5.3.5.4
Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.3.5.4.1
Pertama, gunakan nilai positif dari untuk menemukan penyelesaian pertama.
Langkah 5.3.5.4.2
Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari untuk menemukan penyelesaian kedua.
Langkah 5.3.5.4.3
Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.
Langkah 6
Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.1
Atur penyebut dalam agar sama dengan untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.
Langkah 6.2
Selesaikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.2.1
Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.
Langkah 6.2.2
Sederhanakan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.2.2.1
Tulis kembali sebagai .
Langkah 6.2.2.2
Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.
Langkah 6.3
Atur argumen dalam agar lebih kecil dari atau sama dengan untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.
Langkah 6.4
Selesaikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.4.1
Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi pertidaksamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.
Langkah 6.4.2
Sederhanakan persamaannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.4.2.1
Sederhanakan sisi kirinya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.4.2.1.1
Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.
Langkah 6.4.2.2
Sederhanakan sisi kanannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.4.2.2.1
Sederhanakan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.4.2.2.1.1
Tulis kembali sebagai .
Langkah 6.4.2.2.1.2
Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.
Langkah 6.4.2.2.1.3
Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara dan adalah .
Langkah 6.4.3
Tulis sebagai fungsi sesepenggal.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.4.3.1
Untuk mencari interval bagian pertama, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya tidak negatif.
Langkah 6.4.3.2
Pada bagian di mana non-negatif, hapus nilai mutlaknya.
Langkah 6.4.3.3
Untuk mencari interval bagian kedua, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya negatif.
Langkah 6.4.3.4
Pada bagian di mana negatif, hapus nilai mutlaknya dan kalikan dengan .
Langkah 6.4.3.5
Tulis sebagai fungsi sesepenggal.
Langkah 6.4.4
Tentukan irisan dari dan .
Langkah 6.4.5
Selesaikan ketika .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.4.5.1
Bagi setiap suku pada dengan dan sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.4.5.1.1
Bagi setiap suku dalam dengan . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.
Langkah 6.4.5.1.2
Sederhanakan sisi kirinya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.4.5.1.2.1
Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.
Langkah 6.4.5.1.2.2
Bagilah dengan .
Langkah 6.4.5.1.3
Sederhanakan sisi kanannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.4.5.1.3.1
Bagilah dengan .
Langkah 6.4.5.2
Tentukan irisan dari dan .
Tidak ada penyelesaian
Tidak ada penyelesaian
Langkah 6.4.6
Tentukan gabungan dari penyelesaian-penyelesaiannya.
Langkah 7
Titik kritis untuk dievaluasi.
Langkah 8
Evaluasi turunan kedua pada . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.
Langkah 9
Evaluasi turunan keduanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.1
Sederhanakan pembilangnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.1.1
Tulis kembali sebagai .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.1.1.1
Gunakan untuk menuliskan kembali sebagai .
Langkah 9.1.1.2
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, .
Langkah 9.1.1.3
Gabungkan dan .
Langkah 9.1.1.4
Hapus faktor persekutuan dari dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.1.1.4.1
Faktorkan dari .
Langkah 9.1.1.4.2
Batalkan faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.1.1.4.2.1
Faktorkan dari .
Langkah 9.1.1.4.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 9.1.1.4.2.3
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 9.1.1.4.2.4
Bagilah dengan .
Langkah 9.1.2
Gunakan aturan logaritma untuk memindahkan keluar dari eksponen.
Langkah 9.1.3
Log alami dari adalah .
Langkah 9.1.4
Kalikan dengan .
Langkah 9.1.5
Kalikan dengan .
Langkah 9.1.6
Kurangi dengan .
Langkah 9.2
Tulis kembali sebagai .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.2.1
Gunakan untuk menuliskan kembali sebagai .
Langkah 9.2.2
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, .
Langkah 9.2.3
Gabungkan dan .
Langkah 9.2.4
Hapus faktor persekutuan dari dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.2.4.1
Faktorkan dari .
Langkah 9.2.4.2
Batalkan faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.2.4.2.1
Faktorkan dari .
Langkah 9.2.4.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 9.2.4.2.3
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 9.2.4.2.4
Bagilah dengan .
Langkah 10
adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.
adalah maksimum lokal
Langkah 11
Tentukan nilai y ketika .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 11.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 11.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 11.2.1
Tulis kembali sebagai .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 11.2.1.1
Gunakan untuk menuliskan kembali sebagai .
Langkah 11.2.1.2
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, .
Langkah 11.2.1.3
Gabungkan dan .
Langkah 11.2.1.4
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 11.2.1.4.1
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 11.2.1.4.2
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 11.2.1.5
Sederhanakan.
Langkah 11.2.2
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 12
Ini adalah ekstrem lokal untuk .
adalah maksimum lokal
Langkah 13