Kalkulus Contoh

Tentukan Maks dan Min Mutlak di sepanjang Interval f(x)=(4x)/(x^2+1)
Langkah 1
Tentukan turunan pertama dari fungsi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 1.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Langkah 1.3
Diferensialkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.3.1
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 1.3.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.3.3
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap adalah .
Langkah 1.3.4
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 1.3.5
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 1.3.6
Sederhanakan pernyataannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.3.6.1
Tambahkan dan .
Langkah 1.3.6.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.4
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 1.5
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 1.6
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 1.7
Tambahkan dan .
Langkah 1.8
Kurangi dengan .
Langkah 1.9
Gabungkan dan .
Langkah 1.10
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.10.1
Terapkan sifat distributif.
Langkah 1.10.2
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.10.2.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.10.2.2
Kalikan dengan .
Langkah 2
Tentukan turunan kedua dari fungsi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.1
Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Langkah 2.2
Diferensialkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.2.1
Kalikan eksponen dalam .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.2.1.1
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, .
Langkah 2.2.1.2
Kalikan dengan .
Langkah 2.2.2
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.2.3
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.2.4
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.2.5
Kalikan dengan .
Langkah 2.2.6
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.2.7
Tambahkan dan .
Langkah 2.3
Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.3.1
Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur sebagai .
Langkah 2.3.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.3.3
Ganti semua kemunculan dengan .
Langkah 2.4
Diferensialkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.4.1
Kalikan dengan .
Langkah 2.4.2
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.4.3
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.4.4
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.4.5
Sederhanakan pernyataannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.4.5.1
Tambahkan dan .
Langkah 2.4.5.2
Pindahkan ke sebelah kiri .
Langkah 2.4.5.3
Kalikan dengan .
Langkah 2.5
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.5.1
Terapkan sifat distributif.
Langkah 2.5.2
Terapkan sifat distributif.
Langkah 2.5.3
Sederhanakan pembilangnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.5.3.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.5.3.1.1
Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.
Langkah 2.5.3.1.2
Tulis kembali sebagai .
Langkah 2.5.3.1.3
Perluas menggunakan Metode FOIL.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.5.3.1.3.1
Terapkan sifat distributif.
Langkah 2.5.3.1.3.2
Terapkan sifat distributif.
Langkah 2.5.3.1.3.3
Terapkan sifat distributif.
Langkah 2.5.3.1.4
Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.5.3.1.4.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.5.3.1.4.1.1
Kalikan dengan dengan menambahkan eksponennya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.5.3.1.4.1.1.1
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 2.5.3.1.4.1.1.2
Tambahkan dan .
Langkah 2.5.3.1.4.1.2
Kalikan dengan .
Langkah 2.5.3.1.4.1.3
Kalikan dengan .
Langkah 2.5.3.1.4.1.4
Kalikan dengan .
Langkah 2.5.3.1.4.2
Tambahkan dan .
Langkah 2.5.3.1.5
Terapkan sifat distributif.
Langkah 2.5.3.1.6
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.5.3.1.6.1
Kalikan dengan .
Langkah 2.5.3.1.6.2
Kalikan dengan .
Langkah 2.5.3.1.7
Terapkan sifat distributif.
Langkah 2.5.3.1.8
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.5.3.1.8.1
Kalikan dengan dengan menambahkan eksponennya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.5.3.1.8.1.1
Pindahkan .
Langkah 2.5.3.1.8.1.2
Kalikan dengan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.5.3.1.8.1.2.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 2.5.3.1.8.1.2.2
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 2.5.3.1.8.1.3
Tambahkan dan .
Langkah 2.5.3.1.8.2
Kalikan dengan dengan menambahkan eksponennya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.5.3.1.8.2.1
Pindahkan .
Langkah 2.5.3.1.8.2.2
Kalikan dengan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.5.3.1.8.2.2.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 2.5.3.1.8.2.2.2
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 2.5.3.1.8.2.3
Tambahkan dan .
Langkah 2.5.3.1.9
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.5.3.1.9.1
Kalikan dengan .
Langkah 2.5.3.1.9.2
Kalikan dengan .
Langkah 2.5.3.1.10
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.5.3.1.10.1
Kalikan dengan dengan menambahkan eksponennya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.5.3.1.10.1.1
Kalikan dengan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.5.3.1.10.1.1.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 2.5.3.1.10.1.1.2
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 2.5.3.1.10.1.2
Tambahkan dan .
Langkah 2.5.3.1.10.2
Kalikan dengan .
Langkah 2.5.3.1.11
Perluas menggunakan Metode FOIL.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.5.3.1.11.1
Terapkan sifat distributif.
Langkah 2.5.3.1.11.2
Terapkan sifat distributif.
Langkah 2.5.3.1.11.3
Terapkan sifat distributif.
Langkah 2.5.3.1.12
Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.5.3.1.12.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.5.3.1.12.1.1
Kalikan dengan dengan menambahkan eksponennya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.5.3.1.12.1.1.1
Pindahkan .
Langkah 2.5.3.1.12.1.1.2
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 2.5.3.1.12.1.1.3
Tambahkan dan .
Langkah 2.5.3.1.12.1.2
Kalikan dengan dengan menambahkan eksponennya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.5.3.1.12.1.2.1
Pindahkan .
Langkah 2.5.3.1.12.1.2.2
Kalikan dengan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.5.3.1.12.1.2.2.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 2.5.3.1.12.1.2.2.2
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 2.5.3.1.12.1.2.3
Tambahkan dan .
Langkah 2.5.3.1.12.2
Kurangi dengan .
Langkah 2.5.3.1.12.3
Tambahkan dan .
Langkah 2.5.3.2
Tambahkan dan .
Langkah 2.5.3.3
Kurangi dengan .
Langkah 2.5.4
Sederhanakan pembilangnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.5.4.1
Faktorkan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.5.4.1.1
Faktorkan dari .
Langkah 2.5.4.1.2
Faktorkan dari .
Langkah 2.5.4.1.3
Faktorkan dari .
Langkah 2.5.4.1.4
Faktorkan dari .
Langkah 2.5.4.1.5
Faktorkan dari .
Langkah 2.5.4.2
Tulis kembali sebagai .
Langkah 2.5.4.3
Biarkan . Masukkan untuk semua kejadian .
Langkah 2.5.4.4
Faktorkan menggunakan metode AC.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.5.4.4.1
Mempertimbangkan bentuk . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya . Dalam hal ini, hasil kalinya dan jumlahnya .
Langkah 2.5.4.4.2
Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.
Langkah 2.5.4.5
Ganti semua kemunculan dengan .
Langkah 2.5.5
Hapus faktor persekutuan dari dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.5.5.1
Faktorkan dari .
Langkah 2.5.5.2
Batalkan faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.5.5.2.1
Faktorkan dari .
Langkah 2.5.5.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 2.5.5.2.3
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 3
Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan , lalu selesaikan.
Langkah 4
Tentukan turunan pertamanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1
Tentukan turunan pertamanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 4.1.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Langkah 4.1.3
Diferensialkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.3.1
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 4.1.3.2
Kalikan dengan .
Langkah 4.1.3.3
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap adalah .
Langkah 4.1.3.4
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 4.1.3.5
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 4.1.3.6
Sederhanakan pernyataannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.3.6.1
Tambahkan dan .
Langkah 4.1.3.6.2
Kalikan dengan .
Langkah 4.1.4
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 4.1.5
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 4.1.6
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 4.1.7
Tambahkan dan .
Langkah 4.1.8
Kurangi dengan .
Langkah 4.1.9
Gabungkan dan .
Langkah 4.1.10
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.10.1
Terapkan sifat distributif.
Langkah 4.1.10.2
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.10.2.1
Kalikan dengan .
Langkah 4.1.10.2.2
Kalikan dengan .
Langkah 4.2
Turunan pertama dari terhadap adalah .
Langkah 5
Buat turunan pertamanya agar sama dengan dan selesaikan persamaan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.1
Buat turunan pertamanya agar sama dengan .
Langkah 5.2
Atur agar pembilangnya sama dengan nol.
Langkah 5.3
Selesaikan persamaan untuk .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.3.1
Kurangkan dari kedua sisi persamaan tersebut.
Langkah 5.3.2
Bagi setiap suku pada dengan dan sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.3.2.1
Bagilah setiap suku di dengan .
Langkah 5.3.2.2
Sederhanakan sisi kirinya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.3.2.2.1
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.3.2.2.1.1
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 5.3.2.2.1.2
Bagilah dengan .
Langkah 5.3.2.3
Sederhanakan sisi kanannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.3.2.3.1
Bagilah dengan .
Langkah 5.3.3
Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.
Langkah 5.3.4
Sebarang akar dari adalah .
Langkah 5.3.5
Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.3.5.1
Pertama, gunakan nilai positif dari untuk menemukan penyelesaian pertama.
Langkah 5.3.5.2
Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari untuk menemukan penyelesaian kedua.
Langkah 5.3.5.3
Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.
Langkah 6
Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.1
Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.
Langkah 7
Titik kritis untuk dievaluasi.
Langkah 8
Evaluasi turunan kedua pada . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.
Langkah 9
Evaluasi turunan keduanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.1
Kalikan dengan .
Langkah 9.2
Sederhanakan penyebutnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.2.1
Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.
Langkah 9.2.2
Tambahkan dan .
Langkah 9.2.3
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 9.3
Sederhanakan pembilangnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.3.1
Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.
Langkah 9.3.2
Kurangi dengan .
Langkah 9.4
Sederhanakan pernyataannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.4.1
Kalikan dengan .
Langkah 9.4.2
Bagilah dengan .
Langkah 10
adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.
adalah maksimum lokal
Langkah 11
Tentukan nilai y ketika .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 11.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 11.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 11.2.1
Kalikan dengan .
Langkah 11.2.2
Sederhanakan penyebutnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 11.2.2.1
Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.
Langkah 11.2.2.2
Tambahkan dan .
Langkah 11.2.3
Bagilah dengan .
Langkah 11.2.4
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 12
Evaluasi turunan kedua pada . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.
Langkah 13
Evaluasi turunan keduanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 13.1
Kalikan dengan .
Langkah 13.2
Sederhanakan penyebutnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 13.2.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 13.2.2
Tambahkan dan .
Langkah 13.2.3
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 13.3
Sederhanakan pembilangnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 13.3.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 13.3.2
Kurangi dengan .
Langkah 13.4
Sederhanakan pernyataannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 13.4.1
Kalikan dengan .
Langkah 13.4.2
Bagilah dengan .
Langkah 14
adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.
adalah minimum lokal
Langkah 15
Tentukan nilai y ketika .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 15.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 15.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 15.2.1
Kalikan dengan .
Langkah 15.2.2
Sederhanakan penyebutnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 15.2.2.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 15.2.2.2
Tambahkan dan .
Langkah 15.2.3
Bagilah dengan .
Langkah 15.2.4
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 16
Ini adalah ekstrem lokal untuk .
adalah maksimum lokal
adalah minimum lokal
Langkah 17