Kalkulus Contoh

$p = \frac{1}{12} x^{2} - 6 x + 108$ , $0 \leq x \leq 36$

Langkah 1

Tentukan titik kritisnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{12} x^{2} - 6 x + 108$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Langkah 1.1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Karena $\frac{1}{12}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{12} x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Langkah 1.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{12} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Langkah 1.1.1.2.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{12}$ .

$\frac{2}{12} x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Langkah 1.1.1.2.4

Gabungkan $\frac{2}{12}$ dan $x$ .

$\frac{2 x}{12} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Langkah 1.1.1.2.5

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.5.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$\frac{2 (x)}{12} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Langkah 1.1.1.2.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $12$ .

$\frac{2 x}{2 \cdot 6} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Langkah 1.1.1.2.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2 \cdot 6} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Langkah 1.1.1.2.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x}{6} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Langkah 1.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6 x$ terhadap $x$ adalah $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{6} - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [108]$

Langkah 1.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x}{6} - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [108]$

Langkah 1.1.1.3.3

Kalikan $- 6$ dengan $1$ .

$\frac{x}{6} - 6 + \frac{d}{d x} [108]$

Langkah 1.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.4.1

Karena $108$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $108$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x}{6} - 6 + 0$

Langkah 1.1.1.4.2

Tambahkan $\frac{x}{6} - 6$ dan $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{6} - 6$

Langkah 1.1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{x}{6} - 6$ .

$\frac{x}{6} - 6$

Langkah 1.2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{x}{6} - 6 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{x}{6} - 6 = 0$

Langkah 1.2.2

Tambahkan $6$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{x}{6} = 6$

Langkah 1.2.3

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $6$ .

$6 \frac{x}{6} = 6 \cdot 6$

Langkah 1.2.4

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$6 \frac{x}{6} = 6 \cdot 6$

Langkah 1.2.4.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = 6 \cdot 6$

Langkah 1.2.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Kalikan $6$ dengan $6$ .

$x = 36$

Langkah 1.3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{1}{12} x^{2} - 6 x + 108$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Evaluasi pada $x = 36$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Substitusikan $36$ untuk $x$ .

$\frac{1}{12} \cdot {(36)}^{2} - 6 \cdot 36 + 108$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1.1

Naikkan $36$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{12} \cdot 1296 - 6 \cdot 36 + 108$

Langkah 1.4.1.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1.2.1

Faktorkan $12$ dari $1296$ .

$\frac{1}{12} \cdot (12 (108)) - 6 \cdot 36 + 108$

Langkah 1.4.1.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{12} \cdot (12 \cdot 108) - 6 \cdot 36 + 108$

Langkah 1.4.1.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$108 - 6 \cdot 36 + 108$

Langkah 1.4.1.2.1.3

Kalikan $- 6$ dengan $36$ .

$108 - 216 + 108$

Langkah 1.4.1.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.2.1

Kurangi $216$ dengan $108$ .

$- 108 + 108$

Langkah 1.4.1.2.2.2

Tambahkan $- 108$ dan $108$ .

$0$

Langkah 1.4.2

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(36, 0)$

Langkah 2

Periksa pada titik interval.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$\frac{1}{12} \cdot {(0)}^{2} - 6 \cdot 0 + 108$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{1}{12} \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 108$

Langkah 2.1.2.1.2

Kalikan $\frac{1}{12}$ dengan $0$ .

$0 - 6 \cdot 0 + 108$

Langkah 2.1.2.1.3

Kalikan $- 6$ dengan $0$ .

$0 + 0 + 108$

Langkah 2.1.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$0 + 108$

Langkah 2.1.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $108$ .

$108$

Langkah 2.2

Evaluasi pada $x = 36$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Substitusikan $36$ untuk $x$ .

$\frac{1}{12} \cdot {(36)}^{2} - 6 \cdot 36 + 108$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Naikkan $36$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{12} \cdot 1296 - 6 \cdot 36 + 108$

Langkah 2.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.2.1

Faktorkan $12$ dari $1296$ .

$\frac{1}{12} \cdot (12 (108)) - 6 \cdot 36 + 108$

Langkah 2.2.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{12} \cdot (12 \cdot 108) - 6 \cdot 36 + 108$

Langkah 2.2.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$108 - 6 \cdot 36 + 108$

Langkah 2.2.2.1.3

Kalikan $- 6$ dengan $36$ .

$108 - 216 + 108$

Langkah 2.2.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Kurangi $216$ dengan $108$ .

$- 108 + 108$

Langkah 2.2.2.2.2

Tambahkan $- 108$ dan $108$ .

$0$

Langkah 2.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0, 108), (36, 0)$

Langkah 3

Bandingkan nilai $f (x)$ yang ditemukan untuk setiap nilai $x$ untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ terendah.

Maksimum Mutlak: $(0, 108)$

Minimum Mutlak: $(36, 0)$

Langkah 4