Kalkulus Contoh

Tentukan Maks dan Min Mutlak di sepanjang Interval g(x)=(x^2+4)/(4x)
Langkah 1
Tentukan turunan pertama dari fungsi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 1.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Langkah 1.3
Diferensialkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.3.1
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap adalah .
Langkah 1.3.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 1.3.3
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 1.3.4
Tambahkan dan .
Langkah 1.4
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 1.5
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 1.6
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 1.7
Tambahkan dan .
Langkah 1.8
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 1.9
Gabungkan pecahan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.9.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.9.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.10
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.10.1
Terapkan sifat distributif.
Langkah 1.10.2
Sederhanakan pembilangnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.10.2.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.10.2.2
Kurangi dengan .
Langkah 1.10.3
Sederhanakan pembilangnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.10.3.1
Tulis kembali sebagai .
Langkah 1.10.3.2
Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, di mana dan .
Langkah 2
Tentukan turunan kedua dari fungsi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Langkah 2.3
Kalikan eksponen dalam .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.3.1
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, .
Langkah 2.3.2
Kalikan dengan .
Langkah 2.4
Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Langkah 2.5
Diferensialkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.5.1
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.5.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.5.3
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.5.4
Sederhanakan pernyataannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.5.4.1
Tambahkan dan .
Langkah 2.5.4.2
Kalikan dengan .
Langkah 2.5.5
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.5.6
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.5.7
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.5.8
Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.5.8.1
Tambahkan dan .
Langkah 2.5.8.2
Kalikan dengan .
Langkah 2.5.8.3
Tambahkan dan .
Langkah 2.5.8.4
Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.5.8.4.1
Kurangi dengan .
Langkah 2.5.8.4.2
Tambahkan dan .
Langkah 2.6
Kalikan dengan dengan menambahkan eksponennya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.6.1
Pindahkan .
Langkah 2.6.2
Kalikan dengan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.6.2.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 2.6.2.2
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 2.6.3
Tambahkan dan .
Langkah 2.7
Pindahkan ke sebelah kiri .
Langkah 2.8
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.9
Gabungkan pecahan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.9.1
Kalikan dengan .
Langkah 2.9.2
Kalikan dengan .
Langkah 2.10
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.10.1
Terapkan sifat distributif.
Langkah 2.10.2
Sederhanakan pembilangnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.10.2.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.10.2.1.1
Kalikan dengan .
Langkah 2.10.2.1.2
Perluas menggunakan Metode FOIL.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.10.2.1.2.1
Terapkan sifat distributif.
Langkah 2.10.2.1.2.2
Terapkan sifat distributif.
Langkah 2.10.2.1.2.3
Terapkan sifat distributif.
Langkah 2.10.2.1.3
Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.10.2.1.3.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.10.2.1.3.1.1
Kalikan dengan dengan menambahkan eksponennya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.10.2.1.3.1.1.1
Pindahkan .
Langkah 2.10.2.1.3.1.1.2
Kalikan dengan .
Langkah 2.10.2.1.3.1.2
Kalikan dengan .
Langkah 2.10.2.1.3.1.3
Kalikan dengan .
Langkah 2.10.2.1.3.2
Kurangi dengan .
Langkah 2.10.2.1.3.3
Tambahkan dan .
Langkah 2.10.2.1.4
Terapkan sifat distributif.
Langkah 2.10.2.1.5
Kalikan dengan dengan menambahkan eksponennya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.10.2.1.5.1
Pindahkan .
Langkah 2.10.2.1.5.2
Kalikan dengan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.10.2.1.5.2.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 2.10.2.1.5.2.2
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 2.10.2.1.5.3
Tambahkan dan .
Langkah 2.10.2.2
Kurangi dengan .
Langkah 2.10.2.3
Tambahkan dan .
Langkah 2.10.3
Gabungkan suku-sukunya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.10.3.1
Hapus faktor persekutuan dari dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.10.3.1.1
Faktorkan dari .
Langkah 2.10.3.1.2
Batalkan faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.10.3.1.2.1
Faktorkan dari .
Langkah 2.10.3.1.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 2.10.3.1.2.3
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 2.10.3.2
Hapus faktor persekutuan dari dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.10.3.2.1
Faktorkan dari .
Langkah 2.10.3.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.10.3.2.2.1
Faktorkan dari .
Langkah 2.10.3.2.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 2.10.3.2.2.3
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 3
Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan , lalu selesaikan.
Langkah 4
Tentukan turunan pertamanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1
Tentukan turunan pertamanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 4.1.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Langkah 4.1.3
Diferensialkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.3.1
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap adalah .
Langkah 4.1.3.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 4.1.3.3
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 4.1.3.4
Tambahkan dan .
Langkah 4.1.4
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 4.1.5
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 4.1.6
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 4.1.7
Tambahkan dan .
Langkah 4.1.8
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 4.1.9
Gabungkan pecahan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.9.1
Kalikan dengan .
Langkah 4.1.9.2
Kalikan dengan .
Langkah 4.1.10
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.10.1
Terapkan sifat distributif.
Langkah 4.1.10.2
Sederhanakan pembilangnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.10.2.1
Kalikan dengan .
Langkah 4.1.10.2.2
Kurangi dengan .
Langkah 4.1.10.3
Sederhanakan pembilangnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.10.3.1
Tulis kembali sebagai .
Langkah 4.1.10.3.2
Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, di mana dan .
Langkah 4.2
Turunan pertama dari terhadap adalah .
Langkah 5
Buat turunan pertamanya agar sama dengan dan selesaikan persamaan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.1
Buat turunan pertamanya agar sama dengan .
Langkah 5.2
Atur agar pembilangnya sama dengan nol.
Langkah 5.3
Selesaikan persamaan untuk .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.3.1
Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan .
Langkah 5.3.2
Atur agar sama dengan dan selesaikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.3.2.1
Atur sama dengan .
Langkah 5.3.2.2
Kurangkan dari kedua sisi persamaan tersebut.
Langkah 5.3.3
Atur agar sama dengan dan selesaikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.3.3.1
Atur sama dengan .
Langkah 5.3.3.2
Tambahkan ke kedua sisi persamaan.
Langkah 5.3.4
Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat benar.
Langkah 6
Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.1
Atur penyebut dalam agar sama dengan untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.
Langkah 6.2
Selesaikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.2.1
Bagi setiap suku pada dengan dan sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.2.1.1
Bagilah setiap suku di dengan .
Langkah 6.2.1.2
Sederhanakan sisi kirinya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.2.1.2.1
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.2.1.2.1.1
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 6.2.1.2.1.2
Bagilah dengan .
Langkah 6.2.1.3
Sederhanakan sisi kanannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.2.1.3.1
Bagilah dengan .
Langkah 6.2.2
Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.
Langkah 6.2.3
Sederhanakan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.2.3.1
Tulis kembali sebagai .
Langkah 6.2.3.2
Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.
Langkah 6.2.3.3
Tambah atau kurang adalah .
Langkah 7
Titik kritis untuk dievaluasi.
Langkah 8
Evaluasi turunan kedua pada . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.
Langkah 9
Evaluasi turunan keduanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.1
Hapus faktor persekutuan dari dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.1.1
Tulis kembali sebagai .
Langkah 9.1.2
Faktorkan dari .
Langkah 9.1.3
Batalkan faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.1.3.1
Faktorkan dari .
Langkah 9.1.3.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 9.1.3.3
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 9.2
Sederhanakan pernyataannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.2.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 9.2.2
Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.
Langkah 10
adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.
adalah maksimum lokal
Langkah 11
Tentukan nilai y ketika .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 11.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 11.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 11.2.1
Sederhanakan pembilangnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 11.2.1.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 11.2.1.2
Tambahkan dan .
Langkah 11.2.2
Sederhanakan pernyataannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 11.2.2.1
Kalikan dengan .
Langkah 11.2.2.2
Bagilah dengan .
Langkah 11.2.3
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 12
Evaluasi turunan kedua pada . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.
Langkah 13
Evaluasi turunan keduanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 13.1
Hapus faktor persekutuan dari dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 13.1.1
Faktorkan dari .
Langkah 13.1.2
Batalkan faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 13.1.2.1
Faktorkan dari .
Langkah 13.1.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 13.1.2.3
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 13.2
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 14
adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.
adalah minimum lokal
Langkah 15
Tentukan nilai y ketika .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 15.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 15.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 15.2.1
Sederhanakan pembilangnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 15.2.1.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 15.2.1.2
Tambahkan dan .
Langkah 15.2.2
Sederhanakan pernyataannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 15.2.2.1
Kalikan dengan .
Langkah 15.2.2.2
Bagilah dengan .
Langkah 15.2.3
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 16
Ini adalah ekstrem lokal untuk .
adalah maksimum lokal
adalah minimum lokal
Langkah 17