Kalkulus Contoh

Tentukan Maks dan Min Mutlak di sepanjang Interval f(x)=-3x^4-8x^3-6x^2+1
Langkah 1
Tentukan turunan pertama dari fungsi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.1
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap adalah .
Langkah 1.2
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.2.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 1.2.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 1.2.3
Kalikan dengan .
Langkah 1.3
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.3.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 1.3.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 1.3.3
Kalikan dengan .
Langkah 1.4
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 1.4.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 1.4.3
Kalikan dengan .
Langkah 1.5
Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 1.5.2
Tambahkan dan .
Langkah 2
Tentukan turunan kedua dari fungsi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.1
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.2
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.2.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.2.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.2.3
Kalikan dengan .
Langkah 2.3
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.3.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.3.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.3.3
Kalikan dengan .
Langkah 2.4
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.4.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.4.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.4.3
Kalikan dengan .
Langkah 3
Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan , lalu selesaikan.
Langkah 4
Tentukan turunan pertamanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1
Tentukan turunan pertamanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.1
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap adalah .
Langkah 4.1.2
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.2.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 4.1.2.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 4.1.2.3
Kalikan dengan .
Langkah 4.1.3
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.3.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 4.1.3.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 4.1.3.3
Kalikan dengan .
Langkah 4.1.4
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.4.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 4.1.4.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 4.1.4.3
Kalikan dengan .
Langkah 4.1.5
Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.5.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 4.1.5.2
Tambahkan dan .
Langkah 4.2
Turunan pertama dari terhadap adalah .
Langkah 5
Buat turunan pertamanya agar sama dengan dan selesaikan persamaan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.1
Buat turunan pertamanya agar sama dengan .
Langkah 5.2
Faktorkan sisi kiri persamaannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.2.1
Faktorkan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.2.1.1
Faktorkan dari .
Langkah 5.2.1.2
Faktorkan dari .
Langkah 5.2.1.3
Faktorkan dari .
Langkah 5.2.1.4
Faktorkan dari .
Langkah 5.2.1.5
Faktorkan dari .
Langkah 5.2.2
Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.2.2.1
Tulis kembali sebagai .
Langkah 5.2.2.2
Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.
Langkah 5.2.2.3
Tulis kembali polinomialnya.
Langkah 5.2.2.4
Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna , di mana dan .
Langkah 5.3
Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan .
Langkah 5.4
Atur sama dengan .
Langkah 5.5
Atur agar sama dengan dan selesaikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.5.1
Atur sama dengan .
Langkah 5.5.2
Selesaikan untuk .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.5.2.1
Atur agar sama dengan .
Langkah 5.5.2.2
Kurangkan dari kedua sisi persamaan tersebut.
Langkah 5.6
Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat benar.
Langkah 6
Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.1
Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.
Langkah 7
Titik kritis untuk dievaluasi.
Langkah 8
Evaluasi turunan kedua pada . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.
Langkah 9
Evaluasi turunan keduanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.1.1
Menaikkan ke sebarang pangkat positif menghasilkan .
Langkah 9.1.2
Kalikan dengan .
Langkah 9.1.3
Kalikan dengan .
Langkah 9.2
Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.2.1
Tambahkan dan .
Langkah 9.2.2
Kurangi dengan .
Langkah 10
adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.
adalah maksimum lokal
Langkah 11
Tentukan nilai y ketika .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 11.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 11.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 11.2.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 11.2.1.1
Menaikkan ke sebarang pangkat positif menghasilkan .
Langkah 11.2.1.2
Kalikan dengan .
Langkah 11.2.1.3
Menaikkan ke sebarang pangkat positif menghasilkan .
Langkah 11.2.1.4
Kalikan dengan .
Langkah 11.2.1.5
Menaikkan ke sebarang pangkat positif menghasilkan .
Langkah 11.2.1.6
Kalikan dengan .
Langkah 11.2.2
Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 11.2.2.1
Tambahkan dan .
Langkah 11.2.2.2
Tambahkan dan .
Langkah 11.2.2.3
Tambahkan dan .
Langkah 11.2.3
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 12
Evaluasi turunan kedua pada . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.
Langkah 13
Evaluasi turunan keduanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 13.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 13.1.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 13.1.2
Kalikan dengan .
Langkah 13.1.3
Kalikan dengan .
Langkah 13.2
Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 13.2.1
Tambahkan dan .
Langkah 13.2.2
Kurangi dengan .
Langkah 14
Karena setidaknya ada satu titik di atau turunan kedua yang tidak terdefinisikan, lakukan uji turunan pertama.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 14.1
Bagi menjadi interval terpisah di sekitar nilai yang membuat turunan pertamanya atau tidak terdefinisi.
Langkah 14.2
Substitusikan bilangan apa pun, seperti , dari interval dalam turunan pertama untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 14.2.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 14.2.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 14.2.2.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 14.2.2.1.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 14.2.2.1.2
Kalikan dengan .
Langkah 14.2.2.1.3
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 14.2.2.1.4
Kalikan dengan .
Langkah 14.2.2.1.5
Kalikan dengan .
Langkah 14.2.2.2
Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 14.2.2.2.1
Kurangi dengan .
Langkah 14.2.2.2.2
Tambahkan dan .
Langkah 14.2.2.3
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 14.3
Substitusikan bilangan apa pun, seperti , dari interval dalam turunan pertama untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 14.3.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 14.3.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 14.3.2.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 14.3.2.1.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 14.3.2.1.2
Kalikan dengan .
Langkah 14.3.2.1.3
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 14.3.2.1.4
Kalikan dengan .
Langkah 14.3.2.1.5
Kalikan dengan .
Langkah 14.3.2.2
Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 14.3.2.2.1
Kurangi dengan .
Langkah 14.3.2.2.2
Tambahkan dan .
Langkah 14.3.2.3
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 14.4
Substitusikan bilangan apa pun, seperti , dari interval dalam turunan pertama untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 14.4.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 14.4.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 14.4.2.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 14.4.2.1.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 14.4.2.1.2
Kalikan dengan .
Langkah 14.4.2.1.3
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 14.4.2.1.4
Kalikan dengan .
Langkah 14.4.2.1.5
Kalikan dengan .
Langkah 14.4.2.2
Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 14.4.2.2.1
Kurangi dengan .
Langkah 14.4.2.2.2
Kurangi dengan .
Langkah 14.4.2.3
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 14.5
Karena turunan pertamanya tidak mengubah tanda-tanda di sekitar , ini bukan merupakan maksimum atau minimum lokal.
Bukan maksimum atau minimum lokal
Langkah 14.6
Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari positif menjadi negatif di sekitar , maka adalah maksimum lokal.
adalah maksimum lokal
adalah maksimum lokal
Langkah 15