Kalkulus Contoh

Tentukan Maks dan Min Mutlak di sepanjang Interval f(x)=5cos(x)^2 on [0,pi]
on
Langkah 1
Tentukan titik kritisnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.1
Tentukan turunan pertamanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.1.1
Tentukan turunan pertamanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.1.1.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 1.1.1.2
Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.1.1.2.1
Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur sebagai .
Langkah 1.1.1.2.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 1.1.1.2.3
Ganti semua kemunculan dengan .
Langkah 1.1.1.3
Kalikan dengan .
Langkah 1.1.1.4
Turunan dari terhadap adalah .
Langkah 1.1.1.5
Kalikan dengan .
Langkah 1.1.2
Turunan pertama dari terhadap adalah .
Langkah 1.2
Buat turunan pertamanya agar sama dengan dan selesaikan persamaan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.2.1
Buat turunan pertamanya agar sama dengan .
Langkah 1.2.2
Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan .
Langkah 1.2.3
Atur agar sama dengan dan selesaikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.2.3.1
Atur sama dengan .
Langkah 1.2.3.2
Selesaikan untuk .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.2.3.2.1
Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan dari dalam kosinus.
Langkah 1.2.3.2.2
Sederhanakan sisi kanannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.2.3.2.2.1
Nilai eksak dari adalah .
Langkah 1.2.3.2.3
Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.
Langkah 1.2.3.2.4
Sederhanakan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.2.3.2.4.1
Untuk menuliskan sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan .
Langkah 1.2.3.2.4.2
Gabungkan pecahan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.2.3.2.4.2.1
Gabungkan dan .
Langkah 1.2.3.2.4.2.2
Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.
Langkah 1.2.3.2.4.3
Sederhanakan pembilangnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.2.3.2.4.3.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.2.3.2.4.3.2
Kurangi dengan .
Langkah 1.2.3.2.5
Tentukan periode dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.2.3.2.5.1
Periode fungsi dapat dihitung menggunakan .
Langkah 1.2.3.2.5.2
Ganti dengan dalam rumus untuk periode.
Langkah 1.2.3.2.5.3
Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara dan adalah .
Langkah 1.2.3.2.5.4
Bagilah dengan .
Langkah 1.2.3.2.6
Periode dari fungsi adalah sehingga nilai-nilai akan berulang setiap radian di kedua arah.
, untuk sebarang bilangan bulat
, untuk sebarang bilangan bulat
, untuk sebarang bilangan bulat
Langkah 1.2.4
Atur agar sama dengan dan selesaikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.2.4.1
Atur sama dengan .
Langkah 1.2.4.2
Selesaikan untuk .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.2.4.2.1
Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan dari dalam sinus.
Langkah 1.2.4.2.2
Sederhanakan sisi kanannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.2.4.2.2.1
Nilai eksak dari adalah .
Langkah 1.2.4.2.3
Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.
Langkah 1.2.4.2.4
Kurangi dengan .
Langkah 1.2.4.2.5
Tentukan periode dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.2.4.2.5.1
Periode fungsi dapat dihitung menggunakan .
Langkah 1.2.4.2.5.2
Ganti dengan dalam rumus untuk periode.
Langkah 1.2.4.2.5.3
Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara dan adalah .
Langkah 1.2.4.2.5.4
Bagilah dengan .
Langkah 1.2.4.2.6
Periode dari fungsi adalah sehingga nilai-nilai akan berulang setiap radian di kedua arah.
, untuk sebarang bilangan bulat
, untuk sebarang bilangan bulat
, untuk sebarang bilangan bulat
Langkah 1.2.5
Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat benar.
, untuk sebarang bilangan bulat
Langkah 1.2.6
Gabungkan jawabannya.
, untuk sebarang bilangan bulat
, untuk sebarang bilangan bulat
Langkah 1.3
Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.3.1
Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.
Langkah 1.4
Evaluasi di setiap nilai di mana turunannya adalah atau tidak terdefinisi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1
Evaluasi pada .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1.1
Substitusikan untuk .
Langkah 1.4.1.2
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1.2.1
Nilai eksak dari adalah .
Langkah 1.4.1.2.2
Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.
Langkah 1.4.1.2.3
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.2
Evaluasi pada .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.2.1
Substitusikan untuk .
Langkah 1.4.2.2
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.2.2.1
Nilai eksak dari adalah .
Langkah 1.4.2.2.2
Menaikkan ke sebarang pangkat positif menghasilkan .
Langkah 1.4.2.2.3
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.3
Tuliskan semua titik-titiknya.
, untuk sebarang bilangan bulat
, untuk sebarang bilangan bulat
, untuk sebarang bilangan bulat
Langkah 2
Keluarkan titik-titik yang tidak termasuk dalam interval.
Langkah 3
Gunakan uji turunan pertama untuk menentukan titik yang dapat menjadi maksimum atau minimum.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.1
Bagi menjadi interval terpisah di sekitar nilai yang membuat turunan pertamanya atau tidak terdefinisi.
Langkah 3.2
Substitusikan bilangan apa pun, seperti , dari interval dalam turunan pertama untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.2.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 3.2.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.2.2.1
Evaluasi .
Langkah 3.2.2.2
Kalikan dengan .
Langkah 3.2.2.3
Evaluasi .
Langkah 3.2.2.4
Kalikan dengan .
Langkah 3.2.2.5
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 3.3
Substitusikan bilangan apa pun, seperti , dari interval dalam turunan pertama untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.3.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 3.3.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.3.2.1
Evaluasi .
Langkah 3.3.2.2
Kalikan dengan .
Langkah 3.3.2.3
Evaluasi .
Langkah 3.3.2.4
Kalikan dengan .
Langkah 3.3.2.5
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 3.4
Substitusikan bilangan apa pun, seperti , dari interval dalam turunan pertama untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.4.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 3.4.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.4.2.1
Evaluasi .
Langkah 3.4.2.2
Kalikan dengan .
Langkah 3.4.2.3
Evaluasi .
Langkah 3.4.2.4
Kalikan dengan .
Langkah 3.4.2.5
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 3.5
Substitusikan bilangan apa pun, seperti , dari interval dalam turunan pertama untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.5.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 3.5.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.5.2.1
Evaluasi .
Langkah 3.5.2.2
Kalikan dengan .
Langkah 3.5.2.3
Evaluasi .
Langkah 3.5.2.4
Kalikan dengan .
Langkah 3.5.2.5
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 3.6
Karena turunan pertamanya tidak mengubah tanda-tanda di sekitar , ini bukan merupakan maksimum atau minimum lokal.
Bukan maksimum atau minimum lokal
Langkah 3.7
Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari negatif menjadi positif di sekitar , maka adalah minimum lokal.
adalah minimum lokal
Langkah 3.8
Karena turunan pertamanya tidak mengubah tanda-tanda di sekitar , ini bukan merupakan maksimum atau minimum lokal.
Bukan maksimum atau minimum lokal
Langkah 3.9
Ini adalah ekstrem lokal untuk .
adalah minimum lokal
adalah minimum lokal
Langkah 4
Bandingkan nilai yang ditemukan untuk setiap nilai untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai terendah.
Tidak ada maksimum mutlak
Minimum Mutlak:
Langkah 5