Kalkulus Contoh

Tentukan Maks dan Min Mutlak di sepanjang Interval y=sin(x)cos(x) , 0<=x<=pi
,
Langkah 1
Tentukan titik kritisnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.1
Tentukan turunan pertamanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.1.1
Tentukan turunan pertamanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.1.1.1
Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Langkah 1.1.1.2
Turunan dari terhadap adalah .
Langkah 1.1.1.3
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 1.1.1.4
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 1.1.1.5
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 1.1.1.6
Tambahkan dan .
Langkah 1.1.1.7
Turunan dari terhadap adalah .
Langkah 1.1.1.8
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 1.1.1.9
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 1.1.1.10
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 1.1.1.11
Tambahkan dan .
Langkah 1.1.1.12
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.1.1.12.1
Susun kembali dan .
Langkah 1.1.1.12.2
Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, di mana dan .
Langkah 1.1.1.12.3
Perluas menggunakan Metode FOIL.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.1.1.12.3.1
Terapkan sifat distributif.
Langkah 1.1.1.12.3.2
Terapkan sifat distributif.
Langkah 1.1.1.12.3.3
Terapkan sifat distributif.
Langkah 1.1.1.12.4
Gabungkan suku balikan dalam .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.1.1.12.4.1
Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku dan .
Langkah 1.1.1.12.4.2
Tambahkan dan .
Langkah 1.1.1.12.4.3
Tambahkan dan .
Langkah 1.1.1.12.5
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.1.1.12.5.1
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.1.1.12.5.1.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 1.1.1.12.5.1.2
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 1.1.1.12.5.1.3
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 1.1.1.12.5.1.4
Tambahkan dan .
Langkah 1.1.1.12.5.2
Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.
Langkah 1.1.1.12.5.3
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.1.1.12.5.3.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 1.1.1.12.5.3.2
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 1.1.1.12.5.3.3
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 1.1.1.12.5.3.4
Tambahkan dan .
Langkah 1.1.1.12.6
Terapkan identitas sudut ganda kosinus.
Langkah 1.1.2
Turunan pertama dari terhadap adalah .
Langkah 1.2
Buat turunan pertamanya agar sama dengan dan selesaikan persamaan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.2.1
Buat turunan pertamanya agar sama dengan .
Langkah 1.2.2
Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan dari dalam kosinus.
Langkah 1.2.3
Sederhanakan sisi kanannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.2.3.1
Nilai eksak dari adalah .
Langkah 1.2.4
Bagi setiap suku pada dengan dan sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.2.4.1
Bagilah setiap suku di dengan .
Langkah 1.2.4.2
Sederhanakan sisi kirinya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.2.4.2.1
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.2.4.2.1.1
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 1.2.4.2.1.2
Bagilah dengan .
Langkah 1.2.4.3
Sederhanakan sisi kanannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.2.4.3.1
Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.
Langkah 1.2.4.3.2
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.2.4.3.2.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.2.4.3.2.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.2.5
Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.
Langkah 1.2.6
Selesaikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.2.6.1
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.2.6.1.1
Untuk menuliskan sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan .
Langkah 1.2.6.1.2
Gabungkan dan .
Langkah 1.2.6.1.3
Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.
Langkah 1.2.6.1.4
Kalikan dengan .
Langkah 1.2.6.1.5
Kurangi dengan .
Langkah 1.2.6.2
Bagi setiap suku pada dengan dan sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.2.6.2.1
Bagilah setiap suku di dengan .
Langkah 1.2.6.2.2
Sederhanakan sisi kirinya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.2.6.2.2.1
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.2.6.2.2.1.1
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 1.2.6.2.2.1.2
Bagilah dengan .
Langkah 1.2.6.2.3
Sederhanakan sisi kanannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.2.6.2.3.1
Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.
Langkah 1.2.6.2.3.2
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.2.6.2.3.2.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.2.6.2.3.2.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.2.7
Tentukan periode dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.2.7.1
Periode fungsi dapat dihitung menggunakan .
Langkah 1.2.7.2
Ganti dengan dalam rumus untuk periode.
Langkah 1.2.7.3
Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara dan adalah .
Langkah 1.2.7.4
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.2.7.4.1
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 1.2.7.4.2
Bagilah dengan .
Langkah 1.2.8
Periode dari fungsi adalah sehingga nilai-nilai akan berulang setiap radian di kedua arah.
, untuk sebarang bilangan bulat
Langkah 1.2.9
Gabungkan jawabannya.
, untuk sebarang bilangan bulat
, untuk sebarang bilangan bulat
Langkah 1.3
Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.3.1
Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.
Langkah 1.4
Evaluasi di setiap nilai di mana turunannya adalah atau tidak terdefinisi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1
Evaluasi pada .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1.1
Substitusikan untuk .
Langkah 1.4.1.2
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1.2.1
Nilai eksak dari adalah .
Langkah 1.4.1.2.2
Nilai eksak dari adalah .
Langkah 1.4.1.2.3
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1.2.3.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.3.2
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 1.4.1.2.3.3
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 1.4.1.2.3.4
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 1.4.1.2.3.5
Tambahkan dan .
Langkah 1.4.1.2.3.6
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.4
Tulis kembali sebagai .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1.2.4.1
Gunakan untuk menuliskan kembali sebagai .
Langkah 1.4.1.2.4.2
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, .
Langkah 1.4.1.2.4.3
Gabungkan dan .
Langkah 1.4.1.2.4.4
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1.2.4.4.1
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 1.4.1.2.4.4.2
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 1.4.1.2.4.5
Evaluasi eksponennya.
Langkah 1.4.1.2.5
Hapus faktor persekutuan dari dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1.2.5.1
Faktorkan dari .
Langkah 1.4.1.2.5.2
Batalkan faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1.2.5.2.1
Faktorkan dari .
Langkah 1.4.1.2.5.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 1.4.1.2.5.2.3
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 1.4.2
Evaluasi pada .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.2.1
Substitusikan untuk .
Langkah 1.4.2.2
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.2.2.1
Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.
Langkah 1.4.2.2.2
Nilai eksak dari adalah .
Langkah 1.4.2.2.3
Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.
Langkah 1.4.2.2.4
Nilai eksak dari adalah .
Langkah 1.4.2.2.5
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.2.2.5.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.2.2.5.2
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 1.4.2.2.5.3
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 1.4.2.2.5.4
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 1.4.2.2.5.5
Tambahkan dan .
Langkah 1.4.2.2.5.6
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.2.2.6
Tulis kembali sebagai .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.2.2.6.1
Gunakan untuk menuliskan kembali sebagai .
Langkah 1.4.2.2.6.2
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, .
Langkah 1.4.2.2.6.3
Gabungkan dan .
Langkah 1.4.2.2.6.4
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.2.2.6.4.1
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 1.4.2.2.6.4.2
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 1.4.2.2.6.5
Evaluasi eksponennya.
Langkah 1.4.2.2.7
Hapus faktor persekutuan dari dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.2.2.7.1
Faktorkan dari .
Langkah 1.4.2.2.7.2
Batalkan faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.2.2.7.2.1
Faktorkan dari .
Langkah 1.4.2.2.7.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 1.4.2.2.7.2.3
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 1.4.3
Tuliskan semua titik-titiknya.
, untuk sebarang bilangan bulat
, untuk sebarang bilangan bulat
, untuk sebarang bilangan bulat
Langkah 2
Keluarkan titik-titik yang tidak termasuk dalam interval.
Langkah 3
Periksa pada titik interval.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.1
Evaluasi pada .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.1.1
Substitusikan untuk .
Langkah 3.1.2
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.1.2.1
Nilai eksak dari adalah .
Langkah 3.1.2.2
Nilai eksak dari adalah .
Langkah 3.1.2.3
Kalikan dengan .
Langkah 3.2
Evaluasi pada .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.2.1
Substitusikan untuk .
Langkah 3.2.2
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.2.2.1
Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.
Langkah 3.2.2.2
Nilai eksak dari adalah .
Langkah 3.2.2.3
Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.
Langkah 3.2.2.4
Nilai eksak dari adalah .
Langkah 3.2.2.5
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.2.2.5.1
Kalikan dengan .
Langkah 3.2.2.5.2
Kalikan dengan .
Langkah 3.3
Tuliskan semua titik-titiknya.
Langkah 4
Bandingkan nilai yang ditemukan untuk setiap nilai untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai terendah.
Maksimum Mutlak:
Minimum Mutlak:
Langkah 5