Kalkulus Contoh

Tentukan Maks dan Min Mutlak di sepanjang Interval f(x) = square root of 4-x^2
Langkah 1
Tentukan turunan pertama dari fungsi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.1
Gunakan untuk menuliskan kembali sebagai .
Langkah 1.2
Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.2.1
Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur sebagai .
Langkah 1.2.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 1.2.3
Ganti semua kemunculan dengan .
Langkah 1.3
Untuk menuliskan sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan .
Langkah 1.4
Gabungkan dan .
Langkah 1.5
Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.
Langkah 1.6
Sederhanakan pembilangnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.6.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.6.2
Kurangi dengan .
Langkah 1.7
Gabungkan pecahan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.7.1
Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.
Langkah 1.7.2
Gabungkan dan .
Langkah 1.7.3
Pindahkan menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif .
Langkah 1.8
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap adalah .
Langkah 1.9
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 1.10
Tambahkan dan .
Langkah 1.11
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 1.12
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 1.13
Sederhanakan suku-suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.13.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.13.2
Gabungkan dan .
Langkah 1.13.3
Gabungkan dan .
Langkah 1.13.4
Faktorkan dari .
Langkah 1.14
Batalkan faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.14.1
Faktorkan dari .
Langkah 1.14.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 1.14.3
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 1.15
Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.
Langkah 2
Tentukan turunan kedua dari fungsi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.1
Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Langkah 2.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Langkah 2.3
Kalikan eksponen dalam .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.3.1
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, .
Langkah 2.3.2
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.3.2.1
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 2.3.2.2
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 2.4
Sederhanakan.
Langkah 2.5
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.5.1
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.5.2
Kalikan dengan .
Langkah 2.6
Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.6.1
Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur sebagai .
Langkah 2.6.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.6.3
Ganti semua kemunculan dengan .
Langkah 2.7
Untuk menuliskan sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan .
Langkah 2.8
Gabungkan dan .
Langkah 2.9
Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.
Langkah 2.10
Sederhanakan pembilangnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.10.1
Kalikan dengan .
Langkah 2.10.2
Kurangi dengan .
Langkah 2.11
Gabungkan pecahan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.11.1
Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.
Langkah 2.11.2
Gabungkan dan .
Langkah 2.11.3
Pindahkan menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif .
Langkah 2.11.4
Gabungkan dan .
Langkah 2.12
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.13
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.14
Tambahkan dan .
Langkah 2.15
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.16
Kalikan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.16.1
Kalikan dengan .
Langkah 2.16.2
Kalikan dengan .
Langkah 2.17
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.18
Gabungkan pecahan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.18.1
Gabungkan dan .
Langkah 2.18.2
Gabungkan dan .
Langkah 2.19
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 2.20
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 2.21
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 2.22
Tambahkan dan .
Langkah 2.23
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 2.24
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 2.25
Untuk menuliskan sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan .
Langkah 2.26
Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.
Langkah 2.27
Kalikan dengan dengan menambahkan eksponennya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.27.1
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 2.27.2
Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.
Langkah 2.27.3
Tambahkan dan .
Langkah 2.27.4
Bagilah dengan .
Langkah 2.28
Sederhanakan .
Langkah 2.29
Tambahkan dan .
Langkah 2.30
Tambahkan dan .
Langkah 2.31
Tulis kembali sebagai hasil kali.
Langkah 2.32
Kalikan dengan .
Langkah 2.33
Kalikan dengan dengan menambahkan eksponennya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.33.1
Kalikan dengan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.33.1.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 2.33.1.2
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 2.33.2
Tuliskan sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.
Langkah 2.33.3
Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.
Langkah 2.33.4
Tambahkan dan .
Langkah 2.34
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.35
Sederhanakan pernyataannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.35.1
Kalikan dengan .
Langkah 2.35.2
Tambahkan dan .
Langkah 3
Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan , lalu selesaikan.
Langkah 4
Tentukan turunan pertamanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1
Tentukan turunan pertamanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.1
Gunakan untuk menuliskan kembali sebagai .
Langkah 4.1.2
Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.2.1
Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur sebagai .
Langkah 4.1.2.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 4.1.2.3
Ganti semua kemunculan dengan .
Langkah 4.1.3
Untuk menuliskan sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan .
Langkah 4.1.4
Gabungkan dan .
Langkah 4.1.5
Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.
Langkah 4.1.6
Sederhanakan pembilangnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.6.1
Kalikan dengan .
Langkah 4.1.6.2
Kurangi dengan .
Langkah 4.1.7
Gabungkan pecahan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.7.1
Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.
Langkah 4.1.7.2
Gabungkan dan .
Langkah 4.1.7.3
Pindahkan menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif .
Langkah 4.1.8
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap adalah .
Langkah 4.1.9
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 4.1.10
Tambahkan dan .
Langkah 4.1.11
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 4.1.12
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 4.1.13
Sederhanakan suku-suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.13.1
Kalikan dengan .
Langkah 4.1.13.2
Gabungkan dan .
Langkah 4.1.13.3
Gabungkan dan .
Langkah 4.1.13.4
Faktorkan dari .
Langkah 4.1.14
Batalkan faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.14.1
Faktorkan dari .
Langkah 4.1.14.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 4.1.14.3
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 4.1.15
Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.
Langkah 4.2
Turunan pertama dari terhadap adalah .
Langkah 5
Buat turunan pertamanya agar sama dengan dan selesaikan persamaan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.1
Buat turunan pertamanya agar sama dengan .
Langkah 5.2
Atur agar pembilangnya sama dengan nol.
Langkah 6
Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.1
Ubah persamaan dengan eksponen pecahan menjadi akar.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.1.1
Gunakan rumus untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.
Langkah 6.1.2
Apa pun yang dipangkatkan ke sama dengan bilangan pokok itu sendiri.
Langkah 6.2
Atur penyebut dalam agar sama dengan untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.
Langkah 6.3
Selesaikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.3.1
Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.
Langkah 6.3.2
Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.3.2.1
Gunakan untuk menuliskan kembali sebagai .
Langkah 6.3.2.2
Sederhanakan sisi kirinya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.3.2.2.1
Sederhanakan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.3.2.2.1.1
Kalikan eksponen dalam .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.3.2.2.1.1.1
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, .
Langkah 6.3.2.2.1.1.2
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.3.2.2.1.1.2.1
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 6.3.2.2.1.1.2.2
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 6.3.2.2.1.2
Sederhanakan.
Langkah 6.3.2.3
Sederhanakan sisi kanannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.3.2.3.1
Menaikkan ke sebarang pangkat positif menghasilkan .
Langkah 6.3.3
Selesaikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.3.3.1
Kurangkan dari kedua sisi persamaan tersebut.
Langkah 6.3.3.2
Bagi setiap suku pada dengan dan sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.3.3.2.1
Bagilah setiap suku di dengan .
Langkah 6.3.3.2.2
Sederhanakan sisi kirinya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.3.3.2.2.1
Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.
Langkah 6.3.3.2.2.2
Bagilah dengan .
Langkah 6.3.3.2.3
Sederhanakan sisi kanannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.3.3.2.3.1
Bagilah dengan .
Langkah 6.3.3.3
Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.
Langkah 6.3.3.4
Sederhanakan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.3.3.4.1
Tulis kembali sebagai .
Langkah 6.3.3.4.2
Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.
Langkah 6.3.3.5
Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.3.3.5.1
Pertama, gunakan nilai positif dari untuk menemukan penyelesaian pertama.
Langkah 6.3.3.5.2
Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari untuk menemukan penyelesaian kedua.
Langkah 6.3.3.5.3
Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.
Langkah 6.4
Atur bilangan di bawah akar dalam agar lebih kecil dari untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.
Langkah 6.5
Selesaikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.5.1
Kurangkan pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.
Langkah 6.5.2
Bagi setiap suku pada dengan dan sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.5.2.1
Bagi setiap suku dalam dengan . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.
Langkah 6.5.2.2
Sederhanakan sisi kirinya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.5.2.2.1
Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.
Langkah 6.5.2.2.2
Bagilah dengan .
Langkah 6.5.2.3
Sederhanakan sisi kanannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.5.2.3.1
Bagilah dengan .
Langkah 6.5.3
Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi pertidaksamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.
Langkah 6.5.4
Sederhanakan persamaannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.5.4.1
Sederhanakan sisi kirinya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.5.4.1.1
Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.
Langkah 6.5.4.2
Sederhanakan sisi kanannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.5.4.2.1
Sederhanakan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.5.4.2.1.1
Tulis kembali sebagai .
Langkah 6.5.4.2.1.2
Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.
Langkah 6.5.4.2.1.3
Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara dan adalah .
Langkah 6.5.5
Tulis sebagai fungsi sesepenggal.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.5.5.1
Untuk mencari interval bagian pertama, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya tidak negatif.
Langkah 6.5.5.2
Pada bagian di mana non-negatif, hapus nilai mutlaknya.
Langkah 6.5.5.3
Untuk mencari interval bagian kedua, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya negatif.
Langkah 6.5.5.4
Pada bagian di mana negatif, hapus nilai mutlaknya dan kalikan dengan .
Langkah 6.5.5.5
Tulis sebagai fungsi sesepenggal.
Langkah 6.5.6
Tentukan irisan dari dan .
Langkah 6.5.7
Bagi setiap suku pada dengan dan sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.5.7.1
Bagi setiap suku dalam dengan . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.
Langkah 6.5.7.2
Sederhanakan sisi kirinya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.5.7.2.1
Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.
Langkah 6.5.7.2.2
Bagilah dengan .
Langkah 6.5.7.3
Sederhanakan sisi kanannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.5.7.3.1
Bagilah dengan .
Langkah 6.5.8
Tentukan gabungan dari penyelesaian-penyelesaiannya.
atau
atau
Langkah 6.6
Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan .
Langkah 7
Titik kritis untuk dievaluasi.
Langkah 8
Evaluasi turunan kedua pada . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.
Langkah 9
Evaluasi turunan keduanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.1
Sederhanakan penyebutnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.1.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.1.1.1
Menaikkan ke sebarang pangkat positif menghasilkan .
Langkah 9.1.1.2
Kalikan dengan .
Langkah 9.1.2
Tambahkan dan .
Langkah 9.1.3
Tulis kembali sebagai .
Langkah 9.1.4
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, .
Langkah 9.1.5
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.1.5.1
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 9.1.5.2
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 9.1.6
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 9.2
Hapus faktor persekutuan dari dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.2.1
Faktorkan dari .
Langkah 9.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.2.2.1
Faktorkan dari .
Langkah 9.2.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 9.2.2.3
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 10
adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.
adalah maksimum lokal
Langkah 11
Tentukan nilai y ketika .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 11.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 11.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 11.2.1
Menaikkan ke sebarang pangkat positif menghasilkan .
Langkah 11.2.2
Kalikan dengan .
Langkah 11.2.3
Tambahkan dan .
Langkah 11.2.4
Tulis kembali sebagai .
Langkah 11.2.5
Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.
Langkah 11.2.6
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 12
Evaluasi turunan kedua pada . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.
Langkah 13
Evaluasi turunan keduanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 13.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 13.1.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 13.1.2
Kalikan dengan .
Langkah 13.2
Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 13.2.1
Kurangi dengan .
Langkah 13.2.2
Sederhanakan pernyataannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 13.2.2.1
Tulis kembali sebagai .
Langkah 13.2.2.2
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, .
Langkah 13.2.3
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 13.2.3.1
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 13.2.3.2
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 13.2.4
Menaikkan ke sebarang pangkat positif menghasilkan .
Langkah 13.2.5
Pernyataannya memuat pembagian oleh . Pernyataannya tidak terdefinisi.
Tidak terdefinisi
Langkah 13.3
Pernyataannya memuat pembagian oleh . Pernyataannya tidak terdefinisi.
Tidak terdefinisi
Tidak terdefinisi
Langkah 14
Karena uji turunan pertama tidak berhasil, maka tidak ada ekstrem lokal.
Tidak Ada Ekstrem Lokal
Langkah 15