Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x - 3}{4 + x}$ , $[- 4, 1]$

Langkah 1

Tentukan titik kritisnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x - 3$ dan $g (x) = 4 + x$ .

$\frac{(4 + x) \frac{d}{d x} [x - 3] - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(4 + x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(4 + x) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.3

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(4 + x) (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{(4 + x) \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.4.2

Kalikan $4 + x$ dengan $1$ .

$\frac{4 + x - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 + x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 + x - (x - 3) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x])}{{(4 + x)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.6

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{4 + x - (x - 3) (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(4 + x)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.7

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 + x - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{4 + x - (x - 3) \cdot 1}{{(4 + x)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.9

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{4 + x - (x - 3)}{{(4 + x)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{4 + x - x - - 3}{{(4 + x)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.2.1

Gabungkan suku balikan dalam $4 + x - x - - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.2.1.1

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$\frac{4 + 0 - - 3}{{(4 + x)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.2

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$\frac{4 - - 3}{{(4 + x)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$\frac{4 + 3}{{(4 + x)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.3

Tambahkan $4$ dan $3$ .

$\frac{7}{{(4 + x)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.3

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = \frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ .

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

Langkah 1.2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$

Langkah 1.2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$7 = 0$

Langkah 1.2.3

Karena $7 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 1.3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Atur penyebut dalam $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

${(x + 4)}^{2} = 0$

Langkah 1.3.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Atur $x + 4$ agar sama dengan $0$ .

$x + 4 = 0$

Langkah 1.3.2.2

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 4$

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{x - 3}{4 + x}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Evaluasi pada $x = - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Substitusikan $- 4$ untuk $x$ .

$\frac{(- 4) - 3}{4 - 4}$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$\frac{(- 4) - 3}{4 - 4}$

Langkah 1.4.1.2.2

Kurangi $4$ dengan $4$ .

$\frac{(- 4) - 3}{0}$

Langkah 1.4.1.2.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 1.5

Tidak ada nilai dari $x$ di domain soal awal yang nilai-turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Tidak ditemukan titik kritis

Langkah 2

Periksa pada titik interval.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi pada $x = - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Substitusikan $- 4$ untuk $x$ .

$\frac{(- 4) - 3}{4 - 4}$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$\frac{(- 4) - 3}{4 - 4}$

Langkah 2.1.2.2

Kurangi $4$ dengan $4$ .

$\frac{(- 4) - 3}{0}$

Langkah 2.1.2.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 2.2

Evaluasi pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Substitusikan $1$ untuk $x$ .

$\frac{(1) - 3}{4 + 1}$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$\frac{(1) - 3}{4 + 1}$

Langkah 2.2.2.2

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$\frac{- 2}{4 + 1}$

Langkah 2.2.2.3

Tambahkan $4$ dan $1$ .

$\frac{- 2}{5}$

Langkah 2.2.2.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2}{5}$

Langkah 2.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(1, - \frac{2}{5})$

Langkah 3

Karena tidak ada nilai dari $x$ yang membuat turunan pertama sama dengan $0$ , maka tidak ada ekstrem lokal.

Tidak Ada Ekstrem Lokal

Langkah 4

Bandingkan nilai $f (x)$ yang ditemukan untuk setiap nilai $x$ untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ terendah.

Maksimum Mutlak: $(1, - \frac{2}{5})$

Tidak ada minimum mutlak

Langkah 5