Kalkulus Contoh

Given: $x^{2} = y^{4}$ Find the equation of the tangent line at $(9, 3)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 9$ dan $y = 3$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{2}) = \frac{d}{d x} (y^{4})$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x$

Langkah 1.3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{4}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$4 y^{3} y'$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$2 x = 4 y^{3} y'$

Langkah 1.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $4 y^{3} y' = 2 x$ .

$4 y^{3} y' = 2 x$

Langkah 1.5.2

Bagi setiap suku pada $4 y^{3} y' = 2 x$ dengan $4 y^{3}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Bagilah setiap suku di $4 y^{3} y' = 2 x$ dengan $4 y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

Langkah 1.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

Langkah 1.5.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

Langkah 1.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

Langkah 1.5.2.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

Langkah 1.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$y' = \frac{2 (x)}{4 y^{3}}$

Langkah 1.5.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $4 y^{3}$ .

$y' = \frac{2 (x)}{2 (2 y^{3})}$

Langkah 1.5.2.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{2 x}{2 (2 y^{3})}$

Langkah 1.5.2.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{x}{2 y^{3}}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y^{3}}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = 9$ dan $y = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $9$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{9}{2 y^{3}}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{9}{2 {(3)}^{3}}$

Langkah 1.7.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{9}{2 \cdot 27}$

Langkah 1.7.3.2

Kalikan $2$ dengan $27$ .

$\frac{9}{54}$

Langkah 1.7.4

Hapus faktor persekutuan dari $9$ dan $54$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Faktorkan $9$ dari $9$ .

$\frac{9 (1)}{54}$

Langkah 1.7.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.2.1

Faktorkan $9$ dari $54$ .

$\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 6}$

Langkah 1.7.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 6}$

Langkah 1.7.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{6}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $\frac{1}{6}$ dan titik yang diberikan $(9, 3)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{1}{6} \cdot (x - (9))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $\frac{1}{6} \cdot (x - 9)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 3 = \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 9$

Langkah 2.3.1.4

Gabungkan $\frac{1}{6}$ dan $x$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 9$

Langkah 2.3.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.5.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 (2)} \cdot - 9$

Langkah 2.3.1.5.2

Faktorkan $3$ dari $- 9$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

Langkah 2.3.1.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

Langkah 2.3.1.5.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{2} \cdot - 3$

Langkah 2.3.1.6

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 3$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{- 3}{2}$

Langkah 2.3.1.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y - 3 = \frac{x}{6} - \frac{3}{2}$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + 3$

Langkah 2.3.2.2

Untuk menuliskan $3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 2.3.2.3

Gabungkan $3$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Langkah 2.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 3 + 3 \cdot 2}{2}$

Langkah 2.3.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.5.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 3 + 6}{2}$

Langkah 2.3.2.5.2

Tambahkan $- 3$ dan $6$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{3}{2}$

Langkah 2.3.3

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{1}{6} x + \frac{3}{2}$

Langkah 3