Kalkulus Contoh

$y = \sqrt{x^{3} + 1}$ at $(2, 3)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 2$ dan $y = 3$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x^{3} + 1}$ sebagai ${(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x^{3} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{3} + 1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Langkah 1.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Langkah 1.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Langkah 1.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Langkah 1.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Langkah 1.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Langkah 1.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Langkah 1.7.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Langkah 1.7.3

Pindahkan ${(x^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Langkah 1.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 1.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 1.10

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 0)$

Langkah 1.11

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.11.1

Tambahkan $3 x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2})$

Langkah 1.11.2

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{2}$

Langkah 1.11.3

Gabungkan $\frac{3}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.12

Evaluasi turunan pada $x = 2$ .

$\frac{3 {(2)}^{2}}{2 {({(2)}^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.13.1

Faktorkan $2$ dari $3 {(2)}^{2}$ .

$\frac{2 (3 \cdot 2)}{2 {({(2)}^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.13.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.13.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 {({(2)}^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (3 \cdot 2)}{2 ({({(2)}^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 1.13.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (3 \cdot 2)}{2 {({(2)}^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.13.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 \cdot 2}{{({(2)}^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.13.3

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{6}{{(2^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.13.4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.13.4.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{6}{{(8 + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.13.4.2

Tambahkan $8$ dan $1$ .

$\frac{6}{9^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.13.4.3

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$\frac{6}{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.13.4.4

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Langkah 1.13.4.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.13.4.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Langkah 1.13.4.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{6}{3^{1}}$

Langkah 1.13.4.6

Evaluasi eksponennya.

$\frac{6}{3}$

Langkah 1.13.5

Bagilah $6$ dengan $3$ .

$2$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $2$ dan titik yang diberikan $(2, 3)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = 2 \cdot (x - (2))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 3 = 2 \cdot (x - 2)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $2 \cdot (x - 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 3 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 2)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 3 = 2 \cdot (x - 2)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 3 = 2 x + 2 \cdot - 2$

Langkah 2.3.1.4

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$y - 3 = 2 x - 4$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$y = 2 x - 4 + 3$

Langkah 2.3.2.2

Tambahkan $- 4$ dan $3$ .

$y = 2 x - 1$

Langkah 3