Kalkulus Contoh

$y e^{\sin (x)} = x \cos (y)$ , $(0, 0)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 0$ dan $y = 0$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y e^{\sin (x)}) = \frac{d}{d x} (x \cos (y))$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = y$ dan $g (x) = e^{\sin (x)}$ .

$y \frac{d}{d x} [e^{\sin (x)}] + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\sin (x)$ .

$y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$y (e^{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sin (x)$ .

$y (e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.3

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + e^{\sin (x)} y'$

Langkah 1.3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \cos (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$x (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \cdot 1$

Langkah 1.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.1

Kalikan $\cos (y)$ dengan $1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y)$

Langkah 1.3.5.2

Susun kembali suku-suku.

$- x \sin (y) y' + \cos (y)$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + e^{\sin (x)} y' = - x \sin (y) y' + \cos (y)$

Langkah 1.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $y e^{\sin (x)} \cos (x) + e^{\sin (x)} y'$ .

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + y' e^{\sin (x)} = - x \sin (y) y' + \cos (y)$

Langkah 1.5.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $- x \sin (y) y' + \cos (y)$ .

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + y' e^{\sin (x)} = - x y' \sin (y) + \cos (y)$

Langkah 1.5.3

Tambahkan $x y' \sin (y)$ ke kedua sisi persamaan.

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + y' e^{\sin (x)} + x y' \sin (y) = \cos (y)$

Langkah 1.5.4

Kurangkan $y e^{\sin (x)} \cos (x)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y' e^{\sin (x)} + x y' \sin (y) = \cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)$

Langkah 1.5.5

Faktorkan $y'$ dari $y' e^{\sin (x)} + x y' \sin (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.1

Faktorkan $y'$ dari $x y' \sin (y)$ .

$y' (e^{\sin (x)}) + y' (x \sin (y)) = \cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)$

Langkah 1.5.5.2

Faktorkan $y'$ dari $y' (e^{\sin (x)}) + y' (x \sin (y))$ .

$y' (e^{\sin (x)} + x \sin (y)) = \cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)$

Langkah 1.5.6

Bagi setiap suku pada $y' (e^{\sin (x)} + x \sin (y)) = \cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)$ dengan $e^{\sin (x)} + x \sin (y)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.6.1

Bagilah setiap suku di $y' (e^{\sin (x)} + x \sin (y)) = \cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)$ dengan $e^{\sin (x)} + x \sin (y)$ .

$\frac{y' (e^{\sin (x)} + x \sin (y))}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} = \frac{\cos (y)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} + \frac{- y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

Langkah 1.5.6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{\sin (x)} + x \sin (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (e^{\sin (x)} + x \sin (y))}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} = \frac{\cos (y)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} + \frac{- y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

Langkah 1.5.6.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} + \frac{- y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

Langkah 1.5.6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.6.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{\cos (y)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} - \frac{y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

Langkah 1.5.6.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{\cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = 0$ dan $y = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{\cos (y) - y e^{\sin (0)} \cos (0)}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (y)}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{\cos (0) + 0 \cdot (e^{\sin (0)} \cos (0))}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

Langkah 1.7.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{1 + 0 \cdot (e^{\sin (0)} \cos (0))}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

Langkah 1.7.3.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{1 + 0 \cdot (e^{0} \cos (0))}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

Langkah 1.7.3.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{1 + 0 \cdot (1 \cos (0))}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

Langkah 1.7.3.4

Kalikan $\cos (0)$ dengan $1$ .

$\frac{1 + 0 \cdot \cos (0)}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

Langkah 1.7.3.5

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{1 + 0 \cdot 1}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

Langkah 1.7.3.6

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$\frac{1 + 0}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

Langkah 1.7.3.7

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{1}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

Langkah 1.7.4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{1}{e^{0} + (0) \sin (0)}$

Langkah 1.7.4.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{1}{1 + (0) \sin (0)}$

Langkah 1.7.4.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{1}{1 + 0 \cdot 0}$

Langkah 1.7.4.4

Kalikan $0$ dengan $0$ .

$\frac{1}{1 + 0}$

Langkah 1.7.4.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{1}{1}$

Langkah 1.7.5

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{1}$

Langkah 1.7.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $1$ dan titik yang diberikan $(0, 0)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 1 \cdot (x - (0))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y + 0 = 1 \cdot (x + 0)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tambahkan $y$ dan $0$ .

$y = 1 \cdot (x + 0)$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan $1 \cdot (x + 0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Kalikan $x + 0$ dengan $1$ .

$y = x + 0$

Langkah 2.3.2.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$y = x$

Langkah 3