Kalkulus Contoh

${(y - 3)}^{2} = 4 (x - 5)$ , $(6, 5)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 6$ dan $y = 5$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} ({(y - 3)}^{2}) = \frac{d}{d x} (4 (x - 5))$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tulis kembali ${(y - 3)}^{2}$ sebagai $(y - 3) (y - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [(y - 3) (y - 3)]$

Langkah 1.2.2

Perluas $(y - 3) (y - 3)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [y (y - 3) - 3 (y - 3)]$

Langkah 1.2.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 (y - 3)]$

Langkah 1.2.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.1

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Langkah 1.2.3.1.2

Pindahkan $- 3$ ke sebelah kiri $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 3 \cdot y - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Langkah 1.2.3.1.3

Kalikan $- 3$ dengan $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 3 y - 3 y + 9]$

Langkah 1.2.3.2

Kurangi $3 y$ dengan $- 3 y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 6 y + 9]$

Langkah 1.2.4

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{2} - 6 y + 9$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 1.2.5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 1.2.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 1.2.5.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 1.2.6

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 1.2.7

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6 y$ terhadap $x$ adalah $- 6 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 y y' - 6 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 1.2.8

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 y y' - 6 y' + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 1.2.9

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 y y' - 6 y' + 0$

Langkah 1.2.10

Tambahkan $2 y y' - 6 y'$ dan $0$ .

$2 y y' - 6 y'$

Langkah 1.3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 (x - 5)$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x - 5]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x - 5]$

Langkah 1.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 5$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Langkah 1.3.4

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$4 (1 + 0)$

Langkah 1.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$4 \cdot 1$

Langkah 1.3.5.2

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$2 y y' - 6 y' = 4$

Langkah 1.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Faktorkan $2 y'$ dari $2 y y' - 6 y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Faktorkan $2 y'$ dari $2 y y'$ .

$2 y' y - 6 y' = 4$

Langkah 1.5.1.2

Faktorkan $2 y'$ dari $- 6 y'$ .

$2 y' y + 2 y' \cdot - 3 = 4$

Langkah 1.5.1.3

Faktorkan $2 y'$ dari $2 y' y + 2 y' \cdot - 3$ .

$2 y' (y - 3) = 4$

Langkah 1.5.2

Bagi setiap suku pada $2 y' (y - 3) = 4$ dengan $2 (y - 3)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Bagilah setiap suku di $2 y' (y - 3) = 4$ dengan $2 (y - 3)$ .

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

Langkah 1.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

Langkah 1.5.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

Langkah 1.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

Langkah 1.5.2.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{4}{2 (y - 3)}$

Langkah 1.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 3)}$

Langkah 1.5.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 3)}$

Langkah 1.5.2.3.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{2}{y - 3}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 3}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = 6$ dan $y = 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $6$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{2}{y - 3}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $5$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{2}{(5) - 3}$

Langkah 1.7.3

Kurangi $3$ dengan $5$ .

$\frac{2}{2}$

Langkah 1.7.4

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$1$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $1$ dan titik yang diberikan $(6, 5)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = 1 \cdot (x - (6))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 5 = 1 \cdot (x - 6)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan $x - 6$ dengan $1$ .

$y - 5 = x - 6$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $5$ ke kedua sisi persamaan.

$y = x - 6 + 5$

Langkah 2.3.2.2

Tambahkan $- 6$ dan $5$ .

$y = x - 1$

Langkah 3