Kalkulus Contoh

$y = \frac{1 + x}{8 + e^{x}}$ , $(0, \frac{1}{9})$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 0$ dan $y = \frac{1}{9}$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 1 + x$ dan $g (x) = 8 + e^{x}$ .

$\frac{(8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(8 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(8 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.2.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(8 + e^{x}) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.2.5

Kalikan $8 + e^{x}$ dengan $1$ .

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.2.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $8 + e^{x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.2.7

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.2.8

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{8 + e^{x} + (- 1 \cdot 1 - x) e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.4.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{8 + e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x} - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{8 + e^{x} - 1 e^{x} - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.4.3.1.2

Tulis kembali $- 1 e^{x}$ sebagai $- e^{x}$ .

$\frac{8 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.4.3.2

Gabungkan suku balikan dalam $8 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.2.1

Kurangi $e^{x}$ dengan $e^{x}$ .

$\frac{8 + 0 - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.4.3.2.2

Tambahkan $8$ dan $0$ .

$\frac{8 - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.4.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- e^{x} x + 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.4.5

Faktorkan $- 1$ dari $- e^{x} x$ .

$\frac{- (e^{x} x) + 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.4.6

Tulis kembali $8$ sebagai $- 1 (- 8)$ .

$\frac{- (e^{x} x) - 1 (- 8)}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.4.7

Faktorkan $- 1$ dari $- (e^{x} x) - 1 (- 8)$ .

$\frac{- (e^{x} x - 8)}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.4.8

Tulis kembali $- (e^{x} x - 8)$ sebagai $- 1 (e^{x} x - 8)$ .

$\frac{- 1 (e^{x} x - 8)}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.4.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{e^{x} x - 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.4.10

Susun kembali faktor-faktor dalam $- \frac{e^{x} x - 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$ .

$- \frac{x e^{x} - 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.5

Evaluasi turunan pada $x = 0$ .

$- \frac{(0) \cdot e^{0} - 8}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Langkah 1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1.1

Tulis kembali $0 \cdot e^{0}$ sebagai ${(0 \cdot e^{0})}^{3}$ .

$- \frac{{(0 \cdot e^{0})}^{3} - 8}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Langkah 1.6.1.2

Tulis kembali $8$ sebagai $2^{3}$ .

$- \frac{{(0 \cdot e^{0})}^{3} - 2^{3}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Langkah 1.6.1.3

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat tiga. $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ di mana $a = 0 \cdot e^{0}$ dan $b = 2$ .

$- \frac{(0 \cdot e^{0} - 2) ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 0 \cdot e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Langkah 1.6.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1.4.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$- \frac{(0 \cdot 1 - 2) ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 0 \cdot e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Langkah 1.6.1.4.2

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$- \frac{(0 - 2) ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 0 \cdot e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Langkah 1.6.1.4.3

Kurangi $2$ dengan $0$ .

$- \frac{- 2 ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 0 \cdot e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Langkah 1.6.1.4.4

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1.4.4.1

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$0 \cdot e^{0} \cdot 2 = 2 \cdot (0 \cdot e^{0}) \cdot 2$

Langkah 1.6.1.4.4.2

Tulis kembali polinomialnya.

$- \frac{- 2 ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 2 \cdot (0 \cdot e^{0}) \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Langkah 1.6.1.4.4.3

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , di mana $a = 0 \cdot e^{0}$ dan $b = 2$ .

$- \frac{- 2 {(0 \cdot e^{0} + 2)}^{2}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Langkah 1.6.1.4.5

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$- \frac{- 2 {(0 \cdot 1 + 2)}^{2}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Langkah 1.6.1.4.6

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$- \frac{- 2 {(0 + 2)}^{2}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Langkah 1.6.1.4.7

Tambahkan $0$ dan $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 2^{2}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Langkah 1.6.1.5

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Langkah 1.6.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.2.1

Tulis kembali $8$ sebagai $2^{3}$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(2^{3} + e^{0})}^{2}}$

Langkah 1.6.2.2

Tulis kembali $e^{0}$ sebagai ${(e^{0})}^{3}$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(2^{3} + {(e^{0})}^{3})}^{2}}$

Langkah 1.6.2.3

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus penjumlahan pangkat tiga. $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ di mana $a = 2$ dan $b = e^{0}$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{((2 + e^{0}) (2^{2} - 2 e^{0} + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

Langkah 1.6.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.2.4.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{((2 + 1) (2^{2} - 2 e^{0} + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

Langkah 1.6.2.4.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (2^{2} - 2 e^{0} + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

Langkah 1.6.2.4.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 e^{0} + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

Langkah 1.6.2.4.4

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 \cdot 1 + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

Langkah 1.6.2.4.5

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

Langkah 1.6.2.4.6

Kalikan eksponen dalam ${(e^{0})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.2.4.6.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 + e^{0 \cdot 2}))}^{2}}$

Langkah 1.6.2.4.6.2

Kalikan $0$ dengan $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 + e^{0}))}^{2}}$

Langkah 1.6.2.4.7

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 + 1))}^{2}}$

Langkah 1.6.2.4.8

Kurangi $2$ dengan $4$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (2 + 1))}^{2}}$

Langkah 1.6.2.4.9

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 \cdot 3)}^{2}}$

Langkah 1.6.2.5

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 \cdot 3$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{3^{2} \cdot 3^{2}}$

Langkah 1.6.2.6

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{9 \cdot 3^{2}}$

Langkah 1.6.2.7

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{9 \cdot 9}$

Langkah 1.6.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.3.1

Kalikan $- 2$ dengan $4$ .

$- \frac{- 8}{9 \cdot 9}$

Langkah 1.6.3.2

Kalikan $9$ dengan $9$ .

$- \frac{- 8}{81}$

Langkah 1.6.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- - \frac{8}{81}$

Langkah 1.6.4

Kalikan $- - \frac{8}{81}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 (\frac{8}{81})$

Langkah 1.6.4.2

Kalikan $\frac{8}{81}$ dengan $1$ .

$\frac{8}{81}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $\frac{8}{81}$ dan titik yang diberikan $(0, \frac{1}{9})$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{9}) = \frac{8}{81} \cdot (x - (0))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - \frac{1}{9} = \frac{8}{81} \cdot (x + 0)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $\frac{8}{81} \cdot (x + 0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$y - \frac{1}{9} = \frac{8}{81} \cdot x$

Langkah 2.3.1.2

Gabungkan $\frac{8}{81}$ dan $x$ .

$y - \frac{1}{9} = \frac{8 x}{81}$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $\frac{1}{9}$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \frac{8 x}{81} + \frac{1}{9}$

Langkah 2.3.3

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{8}{81} x + \frac{1}{9}$

Langkah 3